अब, हम दोनों पक्षों का वर्ग करके a + b ² और a - b ² के बीच संबंध ज्ञात करते हैं।

अब, हम a · b के मान को a + b ² के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं और ( a + b ²)/( a ²) की गणना करते हैं।

अब, हम a · b के मान को a + b ² के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं और ( a + b ²)/( a ²) की गणना करते हैं।

Let the vectors $a$ and $b$ be of the same magnitude such that $\frac{\lvert a + b\rvert + \lvert a - b\rvert}{\lvert a + b\rvert - \lvert a - b\rvert} = \sqrt{2} + 1$ . Then $\frac{\lvert a + b\rvert^2}{\lvert a\rvert^2}$ is:

Answer: $2 + \sqrt{2}$

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए समीकरण को सरल करना

हमें एक समीकरण दिया गया है जिसमें सदिश $a$ और $b$ के योग और अंतर के परिमाण शामिल हैं। हम इस समीकरण को सरल करके $\lvert a + b\rvert$ और $\lvert a - b\rvert$ के बीच संबंध ज्ञात करेंगे।

Step 2: घटक-योग और अंतर नियम का उपयोग करना

घटक-योग और अंतर नियम (Componendo and Dividendo) का उपयोग करके, हम समीकरण को सरल कर सकते हैं। यह नियम कहता है कि यदि $\frac{x+y}{x-y} = k$ , तो $\frac{x}{y} = \frac{k+1}{k-1}$ । यहाँ $x = \lvert a + b\rvert$ और $y = \lvert a - b\rvert$ है।

Step 3: परिमाणों के वर्गों का अनुपात ज्ञात करना

अब, हम दोनों पक्षों का वर्ग करके $\lvert a + b\rvert^2$ और $\lvert a - b\rvert^2$ के बीच संबंध ज्ञात करते हैं।

Step 4: सदिशों के परिमाणों के वर्गों के लिए सूत्र का उपयोग करना

हम जानते हैं कि सदिशों के योग और अंतर के परिमाणों के वर्गों के लिए सूत्र इस प्रकार हैं। चूंकि $\lvert a\rvert = \lvert b\rvert$ , हम $\lvert b\rvert^2$ को $\lvert a\rvert^2$ से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

Step 5: समीकरणों को सरल करना और $a \cdot b$ ज्ञात करना

हम $\lvert a + b\rvert^2$ और $\lvert a - b\rvert^2$ के लिए व्यंजकों को उनके अनुपात में प्रतिस्थापित करते हैं और $a \cdot b$ के लिए हल करते हैं।

Step 6: अंतिम व्यंजक की गणना करना

अब, हम $a \cdot b$ के मान को $\lvert a + b\rvert^2$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं और $\frac{\lvert a + b\rvert^2}{\lvert a\rvert^2}$ की गणना करते हैं।

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