दिए गए समीकरण b× d= c× d को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें ( b- c)× d= 0 मिलता है। इसका अर्थ है कि सदिश ( b- c) और d समानांतर हैं।

दिए गए समीकरण b× d= c× d को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें ( b- c)× d= 0 मिलता है। इसका अर्थ है कि सदिश ( b- c) और d समानांतर हैं।

अब हम सदिश ( b- c) की गणना करते हैं। यह i-2 j+ k के बराबर है। चूंकि ( b- c) और d समानांतर हैं, इसलिए d को ( b- c) के अदिश गुणज के रूप में लिखा जा सकता है।

अब हम सदिश ( b- c) की गणना करते हैं। यह i-2 j+ k के बराबर है। चूंकि ( b- c) और d समानांतर हैं, इसलिए d को ( b- c) के अदिश गुणज के रूप में लिखा जा सकता है।

हमें दिया गया है कि a· d=4। हम d के लिए ( i-2 j+ k) को प्रतिस्थापित करते हैं और का मान ज्ञात करते हैं।

हमें दिया गया है कि a· d=4। हम d के लिए ( i-2 j+ k) को प्रतिस्थापित करते हैं और का मान ज्ञात करते हैं।

सदिश a और d के अदिश गुणनफल की गणना करने पर, हमें (1-4+1)=4 मिलता है, जिससे -2 =4 और =-2 प्राप्त होता है।

सदिश a और d के अदिश गुणनफल की गणना करने पर, हमें (1-4+1)=4 मिलता है, जिससे -2 =4 और =-2 प्राप्त होता है।

हम सदिश गुणनफल के परिमाण के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: | a× d|² = | a|²| d|² - ( a· d)²। हमें | a|², | d|² और ( a· d) के मानों की आवश्यकता है।

हम सदिश गुणनफल के परिमाण के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: | a× d|² = | a|²| d|² - ( a· d)²। हमें | a|², | d|² और ( a· d) के मानों की आवश्यकता है।

अब हम | a|², | d|² और ( a· d) के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। | a|² = 6, | d|² = 24, और ( a· d) = 4। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें 128 प्राप्त होता है।

अब हम | a|², | d|² और ( a· d) के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। | a|² = 6, | d|² = 24, और ( a· d) = 4। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें 128 प्राप्त होता है।

Let $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ , $\vec{b}=3\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}$ , $\vec{c}=2\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ and $\vec{d}$ be a vector such that $\vec{b}\times\vec{d}=\vec{c}\times\vec{d}$ and $\vec{a}\cdot\vec{d}=4$ . Then $|\vec{a}\times\vec{d}|^2$ is equal to:

Answer: $128$

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए सदिशों को सरल करें

सबसे पहले, हम दिए गए सदिशों को देखते हैं। सदिश $\vec{b}$ में से $3$ को उभयनिष्ठ लिया जा सकता है, जिससे यह सरल हो जाता है। सदिश $\vec{a}$ और $\vec{c}$ को उनके दिए गए रूप में ही रखा जाता है।

Step 2: सदिश समीकरण को हल करें

दिए गए समीकरण $\vec{b}\times\vec{d}=\vec{c}\times\vec{d}$ को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें $(\vec{b}-\vec{c})\times\vec{d}=\vec{0}$ मिलता है। इसका अर्थ है कि सदिश $(\vec{b}-\vec{c})$ और $\vec{d}$ समानांतर हैं।

Step 3: समानांतर सदिशों को ज्ञात करें

अब हम सदिश $(\vec{b}-\vec{c})$ की गणना करते हैं। यह $\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ के बराबर है। चूंकि $(\vec{b}-\vec{c})$ और $\vec{d}$ समानांतर हैं, इसलिए $\vec{d}$ को $(\vec{b}-\vec{c})$ के अदिश गुणज के रूप में लिखा जा सकता है।

Step 4: सदिश $\vec{d}$ को ज्ञात करें

हमें दिया गया है कि $\vec{a}\cdot\vec{d}=4$ । हम $\vec{d}$ के लिए $\lambda(\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k})$ को प्रतिस्थापित करते हैं और $\lambda$ का मान ज्ञात करते हैं।

Step 5: अदिश $\lambda$ का मान ज्ञात करें

सदिश $\vec{a}$ और $\vec{d}$ के अदिश गुणनफल की गणना करने पर, हमें $\lambda(1-4+1)=4$ मिलता है, जिससे $-2\lambda=4$ और $\lambda=-2$ प्राप्त होता है।

Step 6: $|\vec{a}\times\vec{d}|^2$ की गणना करें

हम सदिश गुणनफल के परिमाण के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: $|\vec{a}\times\vec{d}|^2 = |\vec{a}|^2|\vec{d}|^2 - (\vec{a}\cdot\vec{d})^2$ । हमें $|\vec{a}|^2$ , $|\vec{d}|^2$ और $(\vec{a}\cdot\vec{d})$ के मानों की आवश्यकता है।

Step 7: अंतिम मानों की गणना करें

अब हम $|\vec{a}|^2$ , $|\vec{d}|^2$ और $(\vec{a}\cdot\vec{d})$ के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। $|\vec{a}|^2 = 6$ , $|\vec{d}|^2 = 24$ , और $(\vec{a}\cdot\vec{d}) = 4$ । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें $128$ प्राप्त होता है।

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