Let a=i^+2j^+k^, b=3i^−3j^+3k^, c=2i^−j^+2k^ and d be a vector such that b×d=c×d and a⋅d=4. Then ∣a×d∣2 is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: दिए गए सदिशों को सरल करें
सबसे पहले, हम दिए गए सदिशों को देखते हैं। सदिश b में से 3 को उभयनिष्ठ लिया जा सकता है, जिससे यह सरल हो जाता है। सदिश a और c को उनके दिए गए रूप में ही रखा जाता है।
Step 2: सदिश समीकरण को हल करें
दिए गए समीकरण b×d=c×d को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें (b−c)×d=0 मिलता है। इसका अर्थ है कि सदिश (b−c) और d समानांतर हैं।
Step 3: समानांतर सदिशों को ज्ञात करें
अब हम सदिश (b−c) की गणना करते हैं। यह i^−2j^+k^ के बराबर है। चूंकि (b−c) और d समानांतर हैं, इसलिए d को (b−c) के अदिश गुणज के रूप में लिखा जा सकता है।
Step 4: सदिश d को ज्ञात करें
हमें दिया गया है कि a⋅d=4 । हम d के लिए λ(i^−2j^+k^) को प्रतिस्थापित करते हैं और λ का मान ज्ञात करते हैं।
Step 5: अदिश λ का मान ज्ञात करें
सदिश a और d के अदिश गुणनफल की गणना करने पर, हमें λ(1−4+1)=4 मिलता है, जिससे −2λ=4 और λ=−2 प्राप्त होता है।
Step 6: ∣a×d∣2 की गणना करें
हम सदिश गुणनफल के परिमाण के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: ∣a×d∣2=∣a∣2∣d∣2−(a⋅d)2 । हमें ∣a∣2, ∣d∣2 और (a⋅d) के मानों की आवश्यकता है।
Step 7: अंतिम मानों की गणना करें
अब हम ∣a∣2, ∣d∣2 और (a⋅d) के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। ∣a∣2=6, ∣d∣2=24, और (a⋅d)=4 । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें 128 प्राप्त होता है।