Let x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 be in a geometric progression. If 2, 7, 9, 5 are subtracted respectively from x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4, then the resulting numbers are in an arithmetic progression. Then the value of 124x1x2x3x4\frac{1}{24} x_1 x_2 x_3 x_4 is:

Answer: 216

Step-by-step solution

Step 1: ज्यामितीय और समांतर श्रेढ़ी को परिभाषित करें

सबसे पहले, हम दी गई जानकारी को परिभाषित करते हैं। हमें दिया गया है कि x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 एक ज्यामितीय श्रेढ़ी (GP) में हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक पद को पिछले पद को एक निश्चित सामान्य अनुपात से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। साथ ही, जब इन पदों में से कुछ संख्याएँ घटाई जाती हैं, तो परिणामी संख्याएँ एक समांतर श्रेढ़ी (AP) में होती हैं।

Step 2: पदों को सामान्य अनुपात के रूप में व्यक्त करें

ज्यामितीय श्रेढ़ी के पदों को व्यक्त करने के लिए, हम पहले पद को aa और सामान्य अनुपात को rr मानते हैं। इस प्रकार, चार पद a,ar,ar2,ar3a, ar, ar^2, ar^3 होंगे।

Step 3: समांतर श्रेढ़ी की शर्त लागू करें

यदि A,B,CA, B, C समांतर श्रेढ़ी में हैं, तो B−A=C−BB-A = C-B होता है। इस शर्त का उपयोग करके, हम समांतर श्रेढ़ी के पदों के लिए दो समीकरण बनाते हैं।

Step 4: समीकरणों को सरल करें और हल करें

अब हम इन समीकरणों को aa और rr के लिए हल करते हैं। पहले समीकरण को सरल करने पर हमें −a(r−1)2=3-a(r-1)^2 = 3 मिलता है। दूसरे समीकरण को सरल करने पर हमें −ar(r−1)2=6-ar(r-1)^2 = 6 मिलता है। इन दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर हमें r=2r=2 मिलता है। rr का मान पहले समीकरण में रखने पर हमें a=−3a=-3 मिलता है।

Step 5: ज्यामितीय श्रेढ़ी के पदों की गणना करें

अब जब हमारे पास aa और rr के मान हैं, तो हम ज्यामितीय श्रेढ़ी के सभी चार पदों की गणना कर सकते हैं।

Step 6: अंतिम व्यंजक का मान ज्ञात करें

अंत में, हम दिए गए व्यंजक 124x1x2x3x4\frac{1}{24} x_1 x_2 x_3 x_4 का मान ज्ञात करने के लिए x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

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