हम Y = max(X_1,..., X_n) के वितरण को ज्ञात करना चाहते हैं। Y ≤ y की घटना का अर्थ है कि सभी X_i y से कम या उसके बराबर हैं।

हम Y = max(X_1,..., X_n) के वितरण को ज्ञात करना चाहते हैं। Y ≤ y की घटना का अर्थ है कि सभी X_i y से कम या उसके बराबर हैं।

Let X₁, X₂, ..., Xₙ be iid exponential random variables with parameter λ. Find the distribution of max(X₁, X₂, ..., Xₙ).

Answer: अधिकतम $Y = \max(X_1, ..., X_n)$ का वितरण संचयी वितरण फलन (CDF) द्वारा दिया गया है: $F_Y(y) = (1 - e^{-\lambda y})^n, \quad y \ge 0$ और प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) द्वारा दिया गया है: $f_Y(y) = n\lambda e^{-\lambda y} (1 - e^{-\lambda y})^{n-1}, \quad y \ge 0$

Step-by-step solution

Step 1: संचयी वितरण फलन (CDF) को परिभाषित करें

एक घातीय यादृच्छिक चर $X$ के लिए, संचयी वितरण फलन (CDF) $F_X(x)$ द्वारा दिया जाता है। यह $X$ के $x$ से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता को दर्शाता है।

Step 2: अधिकतम के CDF को ज्ञात करें

हम $Y = \max(X_1, ..., X_n)$ के वितरण को ज्ञात करना चाहते हैं। $Y \le y$ की घटना का अर्थ है कि सभी $X_i$ $y$ से कम या उसके बराबर हैं।

Step 3: स्वतंत्रता का उपयोग करें

चूंकि $X_1, ..., X_n$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (iid) हैं, इसलिए हम संयुक्त प्रायिकता को व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं।

Step 4: CDF को प्रतिस्थापित करें

अब हम व्यक्तिगत $X_i$ के CDF को प्रतिस्थापित करते हैं। यह $Y$ का संचयी वितरण फलन है।

Step 5: प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) को ज्ञात करें

प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) को ज्ञात करने के लिए, हम CDF का $y$ के संबंध में अवकलन करते हैं। यहाँ श्रृंखला नियम का उपयोग किया जाता है।

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