Let X₁, X₂, ..., Xₙ be iid exponential random variables with parameter λ. Find the distribution of max(X₁, X₂, ..., Xₙ).
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Step-by-Step Solution
Step 1: संचयी वितरण फलन (CDF) को परिभाषित करें
एक घातीय यादृच्छिक चर X के लिए, संचयी वितरण फलन (CDF) FX(x) द्वारा दिया जाता है। यह X के x से कम या उसके बराबर होने की प्रायिकता को दर्शाता है।
Step 2: अधिकतम के CDF को ज्ञात करें
हम Y=max(X1,...,Xn) के वितरण को ज्ञात करना चाहते हैं। Y≤y की घटना का अर्थ है कि सभी Xi y से कम या उसके बराबर हैं।
Step 3: स्वतंत्रता का उपयोग करें
चूंकि X1,...,Xn स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (iid) हैं, इसलिए हम संयुक्त प्रायिकता को व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं।
Step 4: CDF को प्रतिस्थापित करें
अब हम व्यक्तिगत Xi के CDF को प्रतिस्थापित करते हैं। यह Y का संचयी वितरण फलन है।
Step 5: प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) को ज्ञात करें
प्रायिकता घनत्व फलन (PDF) को ज्ञात करने के लिए, हम CDF का y के संबंध में अवकलन करते हैं। यहाँ श्रृंखला नियम का उपयोग किया जाता है।