Let y=y(x) be the solution of the differential equation 2cosxdxdy=sin2x−4ysinx, x∈(0,2π). If y(3π)=0, then y′(4π)+y(4π) is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: अवकल समीकरण को मानक रूप में बदलें
दिए गए अवकल समीकरण को रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप dxdy+P(x)y=Q(x) में बदलने के लिए, हम पूरे समीकरण को 2cosx से विभाजित करते हैं। इससे हमें P(x)=2tanx और Q(x)=sinx मिलता है।
Step 2: समाकलन गुणक ज्ञात करें
रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम समाकलन गुणक (I.F.) ज्ञात करते हैं। समाकलन गुणक का सूत्र e∫P(x)dx होता है। यहाँ P(x)=2tanx है, जिसका समाकलन 2ln∣secx∣ होता है। इसे सरल करने पर हमें sec2x मिलता है।
Step 3: अवकल समीकरण का हल ज्ञात करें
अवकल समीकरण का सामान्य हल y⋅(I.F.)=∫Q(x)⋅(I.F.)dx सूत्र द्वारा दिया जाता है। समाकलन करने पर, हमें ysec2x=secx+C मिलता है, जहाँ C समाकलन स्थिरांक है।
Step 4: स्थिरांक C का मान ज्ञात करें
दी गई शर्त y(3π)=0 का उपयोग करके हम स्थिरांक C का मान ज्ञात करते हैं। sec(3π)=2 होता है। इन मानों को समीकरण में रखने पर हमें C=−2 मिलता है।
Step 5: विशेष हल और y(4π) ज्ञात करें
स्थिरांक C का मान रखने पर हमें विशेष हल y(x)=cosx−2cos2x मिलता है। अब हम x=4π पर y(x) का मान ज्ञात करते हैं। cos(4π)=21 होता है। मान रखने पर हमें y(4π)=21−1 मिलता है।
Step 6: y'(x) और y′(4π) ज्ञात करें
अब हम y(x) का अवकलन करके y'(x) ज्ञात करते हैं। y′(x)=−sinx+4sinxcosx मिलता है। फिर हम x=4π पर y'(x) का मान ज्ञात करते हैं। मान रखने पर हमें y′(4π)=−21+2 मिलता है।
Step 7: अंतिम मान की गणना करें
अंत में, हम y′(4π) और y(4π) के मानों को जोड़ते हैं। इससे हमें 1 प्राप्त होता है।