रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम समाकलन गुणक (I.F.) ज्ञात करते हैं। समाकलन गुणक का सूत्र e^(∫ P(x) dx) होता है। यहाँ P(x) = 2 tan x है, जिसका समाकलन 2 ln |sec x| होता है। इसे सरल करने पर हमें sec² x मिलता है।

रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम समाकलन गुणक (I.F.) ज्ञात करते हैं। समाकलन गुणक का सूत्र e^(∫ P(x) dx) होता है। यहाँ P(x) = 2 tan x है, जिसका समाकलन 2 ln |sec x| होता है। इसे सरल करने पर हमें sec² x मिलता है।

अवकल समीकरण का सामान्य हल y · (I.F.) = ∫ Q(x) · (I.F.) dx सूत्र द्वारा दिया जाता है। समाकलन करने पर, हमें y sec² x = sec x + C मिलता है, जहाँ C समाकलन स्थिरांक है।

अवकल समीकरण का सामान्य हल y · (I.F.) = ∫ Q(x) · (I.F.) dx सूत्र द्वारा दिया जाता है। समाकलन करने पर, हमें y sec² x = sec x + C मिलता है, जहाँ C समाकलन स्थिरांक है।

दी गई शर्त y((π)/(3)) = 0 का उपयोग करके हम स्थिरांक C का मान ज्ञात करते हैं। sec((π)/(3)) = 2 होता है। इन मानों को समीकरण में रखने पर हमें C = -2 मिलता है।

दी गई शर्त y((π)/(3)) = 0 का उपयोग करके हम स्थिरांक C का मान ज्ञात करते हैं। sec((π)/(3)) = 2 होता है। इन मानों को समीकरण में रखने पर हमें C = -2 मिलता है।

स्थिरांक C का मान रखने पर हमें विशेष हल y(x) = cos x - 2 cos² x मिलता है। अब हम x = (π)/(4) पर y(x) का मान ज्ञात करते हैं। cos((π)/(4)) = (1)/(√2) होता है। मान रखने पर हमें y((π)/(4)) = (1)/(√2) - 1 मिलता है।

स्थिरांक C का मान रखने पर हमें विशेष हल y(x) = cos x - 2 cos² x मिलता है। अब हम x = (π)/(4) पर y(x) का मान ज्ञात करते हैं। cos((π)/(4)) = (1)/(√2) होता है। मान रखने पर हमें y((π)/(4)) = (1)/(√2) - 1 मिलता है।

अब हम y(x) का अवकलन करके y'(x) ज्ञात करते हैं। y'(x) = -sin x + 4 sin x cos x मिलता है। फिर हम x = (π)/(4) पर y'(x) का मान ज्ञात करते हैं। मान रखने पर हमें y'((π)/(4)) = -(1)/(√2) + 2 मिलता है।

अब हम y(x) का अवकलन करके y'(x) ज्ञात करते हैं। y'(x) = -sin x + 4 sin x cos x मिलता है। फिर हम x = (π)/(4) पर y'(x) का मान ज्ञात करते हैं। मान रखने पर हमें y'((π)/(4)) = -(1)/(√2) + 2 मिलता है।

अंत में, हम y'((π)/(4)) और y((π)/(4)) के मानों को जोड़ते हैं। इससे हमें 1 प्राप्त होता है।

Let $y = y(x)$ be the solution of the differential equation $2 \cos x \frac{dy}{dx} = \sin 2x - 4y \sin x$ , $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ . If $y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$ , then $y'\left(\frac{\pi}{4}\right) + y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ is equal to:

Answer: $1$

Step-by-step solution

Step 1: अवकल समीकरण को मानक रूप में बदलें

दिए गए अवकल समीकरण को रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में बदलने के लिए, हम पूरे समीकरण को $2 \cos x$ से विभाजित करते हैं। इससे हमें $P(x) = 2 \tan x$ और $Q(x) = \sin x$ मिलता है।

Step 2: समाकलन गुणक ज्ञात करें

रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम समाकलन गुणक (I.F.) ज्ञात करते हैं। समाकलन गुणक का सूत्र $e^{\int P(x) dx}$ होता है। यहाँ $P(x) = 2 \tan x$ है, जिसका समाकलन $2 \ln |\sec x|$ होता है। इसे सरल करने पर हमें $\sec^2 x$ मिलता है।

Step 3: अवकल समीकरण का हल ज्ञात करें

अवकल समीकरण का सामान्य हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। समाकलन करने पर, हमें $y \sec^2 x = \sec x + C$ मिलता है, जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

Step 4: स्थिरांक C का मान ज्ञात करें

दी गई शर्त $y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$ का उपयोग करके हम स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात करते हैं। $\sec\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2$ होता है। इन मानों को समीकरण में रखने पर हमें $C = -2$ मिलता है।

Step 5: विशेष हल और $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ज्ञात करें

स्थिरांक $C$ का मान रखने पर हमें विशेष हल $y(x) = \cos x - 2 \cos^2 x$ मिलता है। अब हम $x = \frac{\pi}{4}$ पर $y(x)$ का मान ज्ञात करते हैं। $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है। मान रखने पर हमें $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} - 1$ मिलता है।

Step 6: $y'(x)$ और $y'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ज्ञात करें

अब हम $y(x)$ का अवकलन करके $y'(x)$ ज्ञात करते हैं। $y'(x) = -\sin x + 4 \sin x \cos x$ मिलता है। फिर हम $x = \frac{\pi}{4}$ पर $y'(x)$ का मान ज्ञात करते हैं। मान रखने पर हमें $y'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} + 2$ मिलता है।

Step 7: अंतिम मान की गणना करें

अंत में, हम $y'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ और $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ के मानों को जोड़ते हैं। इससे हमें $1$ प्राप्त होता है।

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