Let y=y(x) be the solution of the differential equation dxdy+3(tan2x)y+3y=sec2x, with y(0)=31+e3. Then y(4π) is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: अवकल समीकरण को मानक रूप में लिखें
दिए गए अवकल समीकरण को dxdy+P(x)y=Q(x) के मानक रैखिक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें। यहाँ, P(x)=3tan2x+3 और Q(x)=sec2x है।
Step 2: समाकलन गुणक ज्ञात करें
समाकलन गुणक (I.F.) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र e∫P(x)dx का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि tan2x+1=sec2x होता है।
Step 3: अवकल समीकरण का हल ज्ञात करें
अब, हम अवकल समीकरण के हल के लिए सूत्र y⋅(I.F.)=∫Q(x)⋅(I.F.)dx+C का उपयोग करते हैं। समाकलन को हल करने के लिए, हम u=3tanx प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं, जिससे du=3sec2xdx या sec2xdx=31du प्राप्त होता है।
Step 4: समाकलन को हल करें
प्रतिस्थापन के बाद, समाकलन ∫eu31du बन जाता है, जिसका हल 31eu+C होता है। u को 3tanx से प्रतिस्थापित करने पर हमें सामान्य हल प्राप्त होता है।
Step 5: प्रारंभिक शर्त का उपयोग करके C का मान ज्ञात करें
दी गई प्रारंभिक शर्त y(0)=31+e3 का उपयोग करके, हम स्थिरांक C का मान ज्ञात कर सकते हैं। tan(0)=0 होता है।
Step 6: विशिष्ट हल लिखें
अब जब हमने C का मान ज्ञात कर लिया है, तो हम इसे सामान्य हल में प्रतिस्थापित करके विशिष्ट हल प्राप्त कर सकते हैं।
Step 7: y(4π) का मान ज्ञात करें
अंत में, x=4π को विशिष्ट हल में प्रतिस्थापित करके y(4π) का मान ज्ञात करें। हम जानते हैं कि tan(4π)=1 और e0=1 होता है।