समाकलन गुणक (I.F.) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र e^(∫ P(x)dx) का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि tan²x + 1 = sec²x होता है।

समाकलन गुणक (I.F.) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र e^(∫ P(x)dx) का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि tan²x + 1 = sec²x होता है।

प्रतिस्थापन के बाद, समाकलन ∫ e^u (1)/(3)du बन जाता है, जिसका हल (1)/(3)e^u + C होता है। u को 3tan x से प्रतिस्थापित करने पर हमें सामान्य हल प्राप्त होता है।

प्रतिस्थापन के बाद, समाकलन ∫ e^u (1)/(3)du बन जाता है, जिसका हल (1)/(3)e^u + C होता है। u को 3tan x से प्रतिस्थापित करने पर हमें सामान्य हल प्राप्त होता है।

दी गई प्रारंभिक शर्त y(0) = (1)/(3) + e³ का उपयोग करके, हम स्थिरांक C का मान ज्ञात कर सकते हैं। tan(0) = 0 होता है।

दी गई प्रारंभिक शर्त y(0) = (1)/(3) + e³ का उपयोग करके, हम स्थिरांक C का मान ज्ञात कर सकते हैं। tan(0) = 0 होता है।

अंत में, x = (π)/(4) को विशिष्ट हल में प्रतिस्थापित करके y((π)/(4)) का मान ज्ञात करें। हम जानते हैं कि tan((π)/(4)) = 1 और e^0 = 1 होता है।

अंत में, x = (π)/(4) को विशिष्ट हल में प्रतिस्थापित करके y((π)/(4)) का मान ज्ञात करें। हम जानते हैं कि tan((π)/(4)) = 1 और e^0 = 1 होता है।

Let $y=y(x)$ be the solution of the differential equation $\frac{dy}{dx} + 3(\tan^2x)\,y + 3y = \sec^2x$ , with $y(0)=\tfrac{1}{3}+e^3$ . Then $y\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)$ is equal to:

Answer: $\frac{4}{3}$

Step-by-step solution

Step 1: अवकल समीकरण को मानक रूप में लिखें

दिए गए अवकल समीकरण को $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के मानक रैखिक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें। यहाँ, $P(x) = 3\tan^2x + 3$ और $Q(x) = \sec^2x$ है।

Step 2: समाकलन गुणक ज्ञात करें

समाकलन गुणक (I.F.) ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र $e^{\int P(x)dx}$ का उपयोग करते हैं। हम जानते हैं कि $\tan^2x + 1 = \sec^2x$ होता है।

Step 3: अवकल समीकरण का हल ज्ञात करें

अब, हम अवकल समीकरण के हल के लिए सूत्र $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ का उपयोग करते हैं। समाकलन को हल करने के लिए, हम $u = 3\tan x$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं, जिससे $du = 3\sec^2x dx$ या $\sec^2x dx = \frac{1}{3}du$ प्राप्त होता है।

Step 4: समाकलन को हल करें

प्रतिस्थापन के बाद, समाकलन $\int e^u \frac{1}{3}du$ बन जाता है, जिसका हल $\frac{1}{3}e^u + C$ होता है। $u$ को $3\tan x$ से प्रतिस्थापित करने पर हमें सामान्य हल प्राप्त होता है।

Step 5: प्रारंभिक शर्त का उपयोग करके C का मान ज्ञात करें

दी गई प्रारंभिक शर्त $y(0) = \frac{1}{3} + e^3$ का उपयोग करके, हम स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात कर सकते हैं। $\tan(0) = 0$ होता है।

Step 6: विशिष्ट हल लिखें

अब जब हमने $C$ का मान ज्ञात कर लिया है, तो हम इसे सामान्य हल में प्रतिस्थापित करके विशिष्ट हल प्राप्त कर सकते हैं।

Step 7: $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करें

अंत में, $x = \frac{\pi}{4}$ को विशिष्ट हल में प्रतिस्थापित करके $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करें। हम जानते हैं कि $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ और $e^0 = 1$ होता है।

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Let y=y(x)y=y(x)y=y(x) be the solution of the differential equation dydx+3(tan⁡2x) y+3y=sec⁡2x\frac{dy}{dx} + 3(\tan^2x)\,y + 3y = \sec^2xdxdy​+3(tan2x)y+3y=sec2x, with y(0)=13+e3y(0)=\tfrac{1}{3}+e^3y(0)=31​+e3. Then y(π4)y\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)y(4π​) is equal to: