Let y=y(x) be the solution of the differential equation (xy−5x21+x2)dx+(1+x2)dy=0, y(0)=0. Then y(3) is equal to
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Step-by-Step Solution
Step 1: अवकल समीकरण को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें
दिए गए अवकल समीकरण को dxdy+P(x)y=Q(x) के रूप में पुनर्व्यवस्थित करें, जो एक रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप है। ऐसा करने के लिए, हम dx पद को दाईं ओर ले जाते हैं और फिर पूरे समीकरण को (1+x2) से विभाजित करते हैं।
Step 2: समाकलन गुणक ज्ञात करें
रैखिक अवकल समीकरण के लिए, समाकलन गुणक (I.F.) e∫P(x)dx द्वारा दिया जाता है। यहाँ, P(x)=1+x2x है। हम प्रतिस्थापन u=1+x2 का उपयोग करके समाकलन करते हैं, जिससे du=2xdx या xdx=21du प्राप्त होता है।
Step 3: समीकरण को हल करें
समाकलन गुणक का उपयोग करके, अवकल समीकरण का हल y⋅I.F.=∫Q(x)⋅I.F.dx+C द्वारा दिया जाता है। हम Q(x) और I.F. के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और समाकलन करते हैं।
Step 4: प्रारंभिक शर्त का उपयोग करके स्थिरांक C ज्ञात करें
दी गई प्रारंभिक शर्त y(0)=0 का उपयोग करके, हम समाकलन स्थिरांक C का मान ज्ञात करते हैं। x=0 और y=0 को हल में प्रतिस्थापित करने पर C=0 प्राप्त होता है।
Step 5: विशेष हल ज्ञात करें
स्थिरांक C=0 को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करने पर हमें अवकल समीकरण का विशेष हल प्राप्त होता है।
Step 6: y(3) का मान ज्ञात करें
अब, x=3 को विशेष हल में प्रतिस्थापित करके y(3) का मान ज्ञात करें।