रैखिक अवकल समीकरण के लिए, समाकलन गुणक (I.F.) e^(∫ P(x) dx) द्वारा दिया जाता है। यहाँ, P(x) = (x)/(1+x²) है। हम प्रतिस्थापन u = 1+x² का उपयोग करके समाकलन करते हैं, जिससे du = 2x dx या x dx = (1)/(2) du प्राप्त होता है।

रैखिक अवकल समीकरण के लिए, समाकलन गुणक (I.F.) e^(∫ P(x) dx) द्वारा दिया जाता है। यहाँ, P(x) = (x)/(1+x²) है। हम प्रतिस्थापन u = 1+x² का उपयोग करके समाकलन करते हैं, जिससे du = 2x dx या x dx = (1)/(2) du प्राप्त होता है।

समाकलन गुणक का उपयोग करके, अवकल समीकरण का हल y · I.F. = ∫ Q(x) · I.F. dx + C द्वारा दिया जाता है। हम Q(x) और I.F. के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और समाकलन करते हैं।

समाकलन गुणक का उपयोग करके, अवकल समीकरण का हल y · I.F. = ∫ Q(x) · I.F. dx + C द्वारा दिया जाता है। हम Q(x) और I.F. के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और समाकलन करते हैं।

अब, x = √3 को विशेष हल में प्रतिस्थापित करके y(√3) का मान ज्ञात करें।

Let $y = y(x)$ be the solution of the differential equation $\left(xy - 5x^2 \sqrt{1 + x^2}\right) dx + \left(1 + x^2\right) dy = 0$ , $y(0) = 0$ . Then $y(\sqrt{3})$ is equal to

Answer: $\frac{5\sqrt{3}}{2}$

Step-by-step solution

Step 1: अवकल समीकरण को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें

दिए गए अवकल समीकरण को $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करें, जो एक रैखिक अवकल समीकरण का मानक रूप है। ऐसा करने के लिए, हम $dx$ पद को दाईं ओर ले जाते हैं और फिर पूरे समीकरण को $(1+x^2)$ से विभाजित करते हैं।

Step 2: समाकलन गुणक ज्ञात करें

रैखिक अवकल समीकरण के लिए, समाकलन गुणक (I.F.) $e^{\int P(x) dx}$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ, $P(x) = \frac{x}{1+x^2}$ है। हम प्रतिस्थापन $u = 1+x^2$ का उपयोग करके समाकलन करते हैं, जिससे $du = 2x dx$ या $x dx = \frac{1}{2} du$ प्राप्त होता है।

Step 3: समीकरण को हल करें

समाकलन गुणक का उपयोग करके, अवकल समीकरण का हल $y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C$ द्वारा दिया जाता है। हम $Q(x)$ और $I.F.$ के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और समाकलन करते हैं।

Step 4: प्रारंभिक शर्त का उपयोग करके स्थिरांक C ज्ञात करें

दी गई प्रारंभिक शर्त $y(0) = 0$ का उपयोग करके, हम समाकलन स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात करते हैं। $x=0$ और $y=0$ को हल में प्रतिस्थापित करने पर $C=0$ प्राप्त होता है।

Step 5: विशेष हल ज्ञात करें

स्थिरांक $C=0$ को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करने पर हमें अवकल समीकरण का विशेष हल प्राप्त होता है।

Step 6: $y(\sqrt{3})$ का मान ज्ञात करें

अब, $x = \sqrt{3}$ को विशेष हल में प्रतिस्थापित करके $y(\sqrt{3})$ का मान ज्ञात करें।

Solve your own maths question free →

Let y=y(x)y = y(x)y=y(x) be the solution of the differential equation (xy−5x21+x2)dx+(1+x2)dy=0\left(xy - 5x^2 \sqrt{1 + x^2}\right) dx + \left(1 + x^2\right) dy = 0(xy−5x21+x2​)dx+(1+x2)dy=0, y(0)=0y(0) = 0y(0)=0. Then y(3)y(\sqrt{3})y(3​) is equal to