दिए गए अवकल समीकरण को पहले मानक रैखिक अवकल समीकरण के रूप में व्यवस्थित करें, जो कि (dy)/(dx) + P(x)y = Q(x) के रूप का होता है। इसके लिए, पूरे समीकरण को (x²+1) से विभाजित करें।

दिए गए अवकल समीकरण को पहले मानक रैखिक अवकल समीकरण के रूप में व्यवस्थित करें, जो कि (dy)/(dx) + P(x)y = Q(x) के रूप का होता है। इसके लिए, पूरे समीकरण को (x²+1) से विभाजित करें।

अब, समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करें। P(x) = -(2x)/(x²+1) है। ∫ -(2x)/(x²+1) dx = -ln(x²+1) होता है।

समाकलन गुणक का उपयोग करके अवकल समीकरण का हल y · (I.F.) = ∫ Q(x) · (I.F.) dx सूत्र से प्राप्त करें। Q(x) = (x²+1)cos x है।

समाकलन गुणक का उपयोग करके अवकल समीकरण का हल y · (I.F.) = ∫ Q(x) · (I.F.) dx सूत्र से प्राप्त करें। Q(x) = (x²+1)cos x है।

अब, निश्चित समाकलन ∫_-3³ y(x) dx का मूल्यांकन करें। ध्यान दें कि (x²+1)sin x एक विषम फलन है, इसलिए -a से a तक इसका समाकलन शून्य होता है। (x²+1) एक सम फलन है।

अब, निश्चित समाकलन ∫_-3³ y(x) dx का मूल्यांकन करें। ध्यान दें कि (x²+1)sin x एक विषम फलन है, इसलिए -a से a तक इसका समाकलन शून्य होता है। (x²+1) एक सम फलन है।

Let $y = y(x)$ be the solution of the differential equation $(x^2 + 1)y' - 2xy = (x^4 + 2x^2 + 1)\cos x$ , with $y(0) = 1$ . Then $\displaystyle \int_{-3}^{3} y(x)\,dx$ is:

Answer: $24$

Step-by-step solution

Step 1: अवकल समीकरण को मानक रूप में बदलें

दिए गए अवकल समीकरण को पहले मानक रैखिक अवकल समीकरण के रूप में व्यवस्थित करें, जो कि $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का होता है। इसके लिए, पूरे समीकरण को $(x^2+1)$ से विभाजित करें।

Step 2: समाकलन गुणक ज्ञात करें

अब, समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करें। $P(x) = -\frac{2x}{x^2+1}$ है। $\int -\frac{2x}{x^2+1}\,dx = -\ln(x^2+1)$ होता है।

Step 3: अवकल समीकरण को हल करें

समाकलन गुणक का उपयोग करके अवकल समीकरण का हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.)\,dx$ सूत्र से प्राप्त करें। $Q(x) = (x^2+1)\cos x$ है।

Step 4: प्रारंभिक शर्त का उपयोग करके C का मान ज्ञात करें

दी गई प्रारंभिक शर्त $y(0) = 1$ का उपयोग करके समाकलन स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात करें।

Step 5: y(x) का पूर्ण हल ज्ञात करें

$C$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें $y(x)$ का पूर्ण हल प्राप्त होता है।

Step 6: निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करें

अब, निश्चित समाकलन $\int_{-3}^{3} y(x)\,dx$ का मूल्यांकन करें। ध्यान दें कि $(x^2+1)\sin x$ एक विषम फलन है, इसलिए $-a$ से $a$ तक इसका समाकलन शून्य होता है। $(x^2+1)$ एक सम फलन है।

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Let y=y(x)y = y(x)y=y(x) be the solution of the differential equation (x2+1)y′−2xy=(x4+2x2+1)cos⁡x(x^2 + 1)y' - 2xy = (x^4 + 2x^2 + 1)\cos x(x2+1)y′−2xy=(x4+2x2+1)cosx, with y(0)=1y(0) = 1y(0)=1. Then ∫−33y(x) dx\displaystyle \int_{-3}^{3} y(x)\,dx∫−33​y(x)dx is: