Let y=y(x) be the solution of the differential equation (x2+1)y′−2xy=(x4+2x2+1)cosx, with y(0)=1. Then ∫−33y(x)dx is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: अवकल समीकरण को मानक रूप में बदलें
दिए गए अवकल समीकरण को पहले मानक रैखिक अवकल समीकरण के रूप में व्यवस्थित करें, जो कि dxdy+P(x)y=Q(x) के रूप का होता है। इसके लिए, पूरे समीकरण को (x2+1) से विभाजित करें।
Step 2: समाकलन गुणक ज्ञात करें
अब, समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करें। P(x)=−x2+12x है। ∫−x2+12xdx=−ln(x2+1) होता है।
Step 3: अवकल समीकरण को हल करें
समाकलन गुणक का उपयोग करके अवकल समीकरण का हल y⋅(I.F.)=∫Q(x)⋅(I.F.)dx सूत्र से प्राप्त करें। Q(x)=(x2+1)cosx है।
Step 4: प्रारंभिक शर्त का उपयोग करके C का मान ज्ञात करें
दी गई प्रारंभिक शर्त y(0)=1 का उपयोग करके समाकलन स्थिरांक C का मान ज्ञात करें।
Step 5: y(x) का पूर्ण हल ज्ञात करें
C का मान प्रतिस्थापित करने पर, हमें y(x) का पूर्ण हल प्राप्त होता है।
Step 6: निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करें
अब, निश्चित समाकलन ∫−33y(x)dx का मूल्यांकन करें। ध्यान दें कि (x2+1)sinx एक विषम फलन है, इसलिए −a से a तक इसका समाकलन शून्य होता है। (x2+1) एक सम फलन है।