Let z1z_{1} and z2z_{2} be two complex numbers such that zˉ1+izˉ2=0\bar{z}_{1}+i \bar{z}_{2}=0 and arg⁡(z1z2)=π\arg \left(z_{1} z_{2}\right)=\pi. Then find arg⁡(z1)\arg \left(z_{1}\right).

Answer: arg⁡(z1)=3π4\arg(z_1) = \frac{3\pi}{4}

Step-by-step solution

Step 1: पहली शर्त को सरल करें

हमें पहली शर्त दी गई है zˉ1+izˉ2=0\bar{z}_{1}+i \bar{z}_{2}=0 । हम इस समीकरण को zˉ1\bar{z}_{1} के लिए हल करके सरल कर सकते हैं। इससे हमें zˉ1=−izˉ2\bar{z}_{1}=-i \bar{z}_{2} मिलता है।

Step 2: दोनों पक्षों का संयुग्मी लें

पिछले चरण से प्राप्त समीकरण zˉ1=−izˉ2\bar{z}_{1}=-i \bar{z}_{2} का दोनों तरफ संयुग्मी लेने पर, हमें z1=iz2z_{1}=i z_{2} मिलता है। याद रखें कि zˉ‾=z\overline{\bar{z}}=z और i‾=−i\overline{i}=-i, साथ ही z1z2‾=z1ˉz2ˉ\overline{z_1 z_2} = \bar{z_1} \bar{z_2} ।

Step 3: आर्ग्यूमेंट गुणधर्म का उपयोग करें

हम जानते हैं कि arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2) । इस गुणधर्म का उपयोग करके, हम z1=iz2z_1 = i z_2 को arg⁡(z1)=arg⁡(i)+arg⁡(z2)\arg(z_1) = \arg(i) + \arg(z_2) के रूप में लिख सकते हैं।

Step 4: i का आर्ग्यूमेंट ज्ञात करें

सम्मिश्र संख्या ii को कार्तीय तल में (0,1)(0, 1) के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह धनात्मक yy -अक्ष पर स्थित है, इसलिए इसका आर्ग्यूमेंट π2\frac{\pi}{2} है।

Step 5: आर्ग्यूमेंट समीकरणों को संयोजित करें

अब हमारे पास दो समीकरण हैं: arg⁡(z1)=π2+arg⁡(z2)\arg(z_1) = \frac{\pi}{2} + \arg(z_2) और दी गई शर्त arg⁡(z1z2)=π\arg(z_1 z_2) = \pi, जिसे arg⁡(z1)+arg⁡(z2)=π\arg(z_1) + \arg(z_2) = \pi के रूप में लिखा जा सकता है।

Step 6: arg⁡(z1)\arg(z_1) के लिए हल करें

दूसरे समीकरण में arg⁡(z2)\arg(z_2) के स्थान पर arg⁡(z1)−π2\arg(z_1) - \frac{\pi}{2} प्रतिस्थापित करें। इससे हमें 2arg⁡(z1)=3π22\arg(z_1) = \frac{3\pi}{2} मिलता है, जिसे हल करने पर arg⁡(z1)=3π4\arg(z_1) = \frac{3\pi}{4} प्राप्त होता है।

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