Let z1 and z2 be two complex numbers such that zˉ1+izˉ2=0 and arg(z1z2)=π. Then find arg(z1).
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Step-by-Step Solution
Step 1: पहली शर्त को सरल करें
हमें पहली शर्त दी गई है zˉ1+izˉ2=0 । हम इस समीकरण को zˉ1 के लिए हल करके सरल कर सकते हैं। इससे हमें zˉ1=−izˉ2 मिलता है।
Step 2: दोनों पक्षों का संयुग्मी लें
पिछले चरण से प्राप्त समीकरण zˉ1=−izˉ2 का दोनों तरफ संयुग्मी लेने पर, हमें z1=iz2 मिलता है। याद रखें कि zˉ=z और i=−i, साथ ही z1z2=z1ˉz2ˉ ।
Step 3: आर्ग्यूमेंट गुणधर्म का उपयोग करें
हम जानते हैं कि arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) । इस गुणधर्म का उपयोग करके, हम z1=iz2 को arg(z1)=arg(i)+arg(z2) के रूप में लिख सकते हैं।
Step 4: i का आर्ग्यूमेंट ज्ञात करें
सम्मिश्र संख्या i को कार्तीय तल में (0,1) के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह धनात्मक y -अक्ष पर स्थित है, इसलिए इसका आर्ग्यूमेंट 2π है।
Step 5: आर्ग्यूमेंट समीकरणों को संयोजित करें
अब हमारे पास दो समीकरण हैं: arg(z1)=2π+arg(z2) और दी गई शर्त arg(z1z2)=π, जिसे arg(z1)+arg(z2)=π के रूप में लिखा जा सकता है।
Step 6: arg(z1) के लिए हल करें
दूसरे समीकरण में arg(z2) के स्थान पर arg(z1)−2π प्रतिस्थापित करें। इससे हमें 2arg(z1)=23π मिलता है, जिसे हल करने पर arg(z1)=43π प्राप्त होता है।