Let z1 and z2 be two complex numbers such that ∣z1+z2∣=∣z1∣+∣z2∣. Then show that arg(z1)−arg(z2)=0.
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Step-by-Step Solution
Step 1: दी गई शर्त का उपयोग करें
हमें दिया गया है कि दो सम्मिश्र संख्याओं z1 और z2 के योग का मापांक उनके अलग-अलग मापांकों के योग के बराबर है। यह सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमानता की समानता की स्थिति है।
Step 2: दोनों पक्षों का वर्ग करें
दी गई शर्त के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम मापांक के गुणधर्मों का उपयोग कर सकते हैं। हम जानते हैं कि ∣z∣2=zzˉ ।
Step 3: मापांक के गुणधर्मों का विस्तार करें
बाएं पक्ष को (z1+z2)(z1ˉ+z2ˉ) के रूप में विस्तारित करने पर हमें z1z1ˉ+z1z2ˉ+z2z1ˉ+z2z2ˉ मिलता है। इसे ∣z1∣2+z1z2ˉ+z2z1ˉ+∣z2∣2 के रूप में लिखा जा सकता है।
Step 4: समीकरण को सरल करें
दोनों पक्षों से ∣z1∣2 और ∣z2∣2 को रद्द करने पर, हमें z1z2ˉ+z2z1ˉ=2∣z1∣∣z2∣ मिलता है। हम जानते हैं कि z+zˉ=2Re(z) । इसलिए, z1z2ˉ+z1z2ˉ=2Re(z1z2ˉ) ।
Step 5: वास्तविक भाग के रूप में व्यक्त करें
उपरोक्त समीकरण को सरल करने पर, हमें Re(z1z2ˉ)=∣z1∣∣z2∣ मिलता है। हम जानते हैं कि किसी सम्मिश्र संख्या z के लिए, Re(z)=∣z∣cos(arg(z)) ।
Step 6: कोणांक के रूप में व्यक्त करें
हम जानते हैं कि ∣z1z2ˉ∣=∣z1∣∣z2ˉ∣=∣z1∣∣z2∣ और arg(z1z2ˉ)=arg(z1)+arg(z2ˉ)=arg(z1)−arg(z2) ।
Step 7: अंतिम परिणाम
चूंकि ∣z1∣∣z2∣=0 (यदि z1 या z2 शून्य नहीं हैं), तो हम दोनों पक्षों को ∣z1∣∣z2∣ से विभाजित कर सकते हैं। इससे cos(arg(z1)−arg(z2))=1 प्राप्त होता है। कोसाइन फ़ंक्शन का मान 1 तभी होता है जब कोण 2nπ के बराबर हो, जहाँ n एक पूर्णांक है। इसलिए, arg(z1)−arg(z2)=0 (मुख्य मान के लिए)।