बाएं पक्ष को (z_1+z_2)( z_1+ z_2) के रूप में विस्तारित करने पर हमें z_1 z_1 + z_1 z_2 + z_2 z_1 + z_2 z_2 मिलता है। इसे |z_1|² + z_1 z_2 + z_2 z_1 + |z_2|² के रूप में लिखा जा सकता है।

बाएं पक्ष को (z_1+z_2)( z_1+ z_2) के रूप में विस्तारित करने पर हमें z_1 z_1 + z_1 z_2 + z_2 z_1 + z_2 z_2 मिलता है। इसे |z_1|² + z_1 z_2 + z_2 z_1 + |z_2|² के रूप में लिखा जा सकता है।

दोनों पक्षों से |z_1|² और |z_2|² को रद्द करने पर, हमें z_1 z_2 + z_2 z_1 = 2|z_1||z_2| मिलता है। हम जानते हैं कि z + z = 2Re(z)। इसलिए, z_1 z_2 + z_1 z_2 = 2Re(z_1 z_2)।

दोनों पक्षों से |z_1|² और |z_2|² को रद्द करने पर, हमें z_1 z_2 + z_2 z_1 = 2|z_1||z_2| मिलता है। हम जानते हैं कि z + z = 2Re(z)। इसलिए, z_1 z_2 + z_1 z_2 = 2Re(z_1 z_2)।

उपरोक्त समीकरण को सरल करने पर, हमें Re(z_1 z_2) = |z_1||z_2| मिलता है। हम जानते हैं कि किसी सम्मिश्र संख्या z के लिए, Re(z) = |z|cos( (z))।

उपरोक्त समीकरण को सरल करने पर, हमें Re(z_1 z_2) = |z_1||z_2| मिलता है। हम जानते हैं कि किसी सम्मिश्र संख्या z के लिए, Re(z) = |z|cos( (z))।

हम जानते हैं कि |z_1 z_2| = |z_1| | z_2| = |z_1||z_2| और (z_1 z_2) = (z_1) + ( z_2) = (z_1) - (z_2)।

चूंकि |z_1||z_2| ≠ 0 (यदि z_1 या z_2 शून्य नहीं हैं), तो हम दोनों पक्षों को |z_1||z_2| से विभाजित कर सकते हैं। इससे cos( (z_1) - (z_2)) = 1 प्राप्त होता है। कोसाइन फ़ंक्शन का मान 1 तभी होता है जब कोण 2nπ के बराबर हो, जहाँ n एक पूर्णांक है। इसलिए, (z_1) - (z_2) = 0 (मुख्य मान के लिए)।

चूंकि |z_1||z_2| ≠ 0 (यदि z_1 या z_2 शून्य नहीं हैं), तो हम दोनों पक्षों को |z_1||z_2| से विभाजित कर सकते हैं। इससे cos( (z_1) - (z_2)) = 1 प्राप्त होता है। कोसाइन फ़ंक्शन का मान 1 तभी होता है जब कोण 2nπ के बराबर हो, जहाँ n एक पूर्णांक है। इसलिए, (z_1) - (z_2) = 0 (मुख्य मान के लिए)।

Let $z_{1}$ and $z_{2}$ be two complex numbers such that $\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$ . Then show that $\arg \left(z_{1}\right)-\arg \left(z_{2}\right)=0$ .

Answer: यह सिद्ध किया गया है कि $\arg \left(z_{1}\right)-\arg \left(z_{2}\right)=0$ ।

Step-by-step solution

Step 1: दी गई शर्त का उपयोग करें

हमें दिया गया है कि दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के योग का मापांक उनके अलग-अलग मापांकों के योग के बराबर है। यह सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमानता की समानता की स्थिति है।

Step 2: दोनों पक्षों का वर्ग करें

दी गई शर्त के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हम मापांक के गुणधर्मों का उपयोग कर सकते हैं। हम जानते हैं कि $|z|^2 = z \bar{z}$ ।

Step 3: मापांक के गुणधर्मों का विस्तार करें

बाएं पक्ष को $(z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2})$ के रूप में विस्तारित करने पर हमें $z_1\bar{z_1} + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2}$ मिलता है। इसे $|z_1|^2 + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} + |z_2|^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।

Step 4: समीकरण को सरल करें

दोनों पक्षों से $|z_1|^2$ और $|z_2|^2$ को रद्द करने पर, हमें $z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} = 2|z_1||z_2|$ मिलता है। हम जानते हैं कि $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z)$ । इसलिए, $z_1\bar{z_2} + \overline{z_1\bar{z_2}} = 2\text{Re}(z_1\bar{z_2})$ ।

Step 5: वास्तविक भाग के रूप में व्यक्त करें

उपरोक्त समीकरण को सरल करने पर, हमें $\text{Re}(z_1\bar{z_2}) = |z_1||z_2|$ मिलता है। हम जानते हैं कि किसी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, $\text{Re}(z) = |z|\cos(\arg(z))$ ।

Step 6: कोणांक के रूप में व्यक्त करें

हम जानते हैं कि $|z_1\bar{z_2}| = |z_1| |\bar{z_2}| = |z_1||z_2|$ और $\arg(z_1\bar{z_2}) = \arg(z_1) + \arg(\bar{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$ ।

Step 7: अंतिम परिणाम

चूंकि $|z_1||z_2| \neq 0$ (यदि $z_1$ या $z_2$ शून्य नहीं हैं), तो हम दोनों पक्षों को $|z_1||z_2|$ से विभाजित कर सकते हैं। इससे $\cos(\arg(z_1) - \arg(z_2)) = 1$ प्राप्त होता है। कोसाइन फ़ंक्शन का मान 1 तभी होता है जब कोण $2n\pi$ के बराबर हो, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है। इसलिए, $\arg(z_1) - \arg(z_2) = 0$ (मुख्य मान के लिए)।

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