चूंकि जटिल संख्याएँ इकाई वृत्त पर हैं, इसलिए उनका मापांक |z|=1 है। हम प्रत्येक जटिल संख्या को उसके ध्रुवीय रूप z = |z|(cosθ + isinθ) का उपयोग करके व्यक्त करते हैं, जहाँ θ तर्क है। दिए गए तर्कों का उपयोग करके, हम z_1, z_2, और z_3 के मानों की गणना करते हैं।

चूंकि जटिल संख्याएँ इकाई वृत्त पर हैं, इसलिए उनका मापांक |z|=1 है। हम प्रत्येक जटिल संख्या को उसके ध्रुवीय रूप z = |z|(cosθ + isinθ) का उपयोग करके व्यक्त करते हैं, जहाँ θ तर्क है। दिए गए तर्कों का उपयोग करके, हम z_1, z_2, और z_3 के मानों की गणना करते हैं।

जटिल संख्याओं के संयुग्मी की गणना करना आवश्यक है। यदि z = x + iy, तो z = x - iy होता है।

अब हम दिए गए व्यंजक के प्रत्येक पद की गणना करते हैं: z_1 z_2, z_2 z_3, और z_3 z_1। ध्यान दें कि z_3 z_1 के लिए, हम (a+b)(a-b) = a²-b² सूत्र का उपयोग करते हैं।

अब हम दिए गए व्यंजक के प्रत्येक पद की गणना करते हैं: z_1 z_2, z_2 z_3, और z_3 z_1। ध्यान दें कि z_3 z_1 के लिए, हम (a+b)(a-b) = a²-b² सूत्र का उपयोग करते हैं।

दिए गए समीकरण |z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1|² = α + β √2 से तुलना करने पर, हम α और β के मान प्राप्त करते हैं।

दिए गए समीकरण |z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1|² = α + β √2 से तुलना करने पर, हम α और β के मान प्राप्त करते हैं।

अंत में, हम α² + β² का मान ज्ञात करते हैं।

Let $z_1, z_2$ , and $z_3$ be three complex numbers on the circle $|z| = 1$ with $\arg(z_1) = \frac{\pi}{4}$ , $\arg(z_2) = 0$ , and $\arg(z_3) = \frac{\pi}{4}$ . If $|z_1 \bar{z}_2 + z_2 \bar{z}_3 + z_3 \bar{z}_1|^2 = \alpha + \beta \sqrt{2}$ , $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ , then the value of $\alpha^2 + \beta^2$ is:

Answer: 13

Step-by-step solution

Step 1: जटिल संख्याओं को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करना

चूंकि जटिल संख्याएँ इकाई वृत्त पर हैं, इसलिए उनका मापांक $|z|=1$ है। हम प्रत्येक जटिल संख्या को उसके ध्रुवीय रूप $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$ का उपयोग करके व्यक्त करते हैं, जहाँ $\theta$ तर्क है। दिए गए तर्कों का उपयोग करके, हम $z_1, z_2,$ और $z_3$ के मानों की गणना करते हैं।

Step 2: संयुग्मी जटिल संख्याओं की गणना करना

जटिल संख्याओं के संयुग्मी की गणना करना आवश्यक है। यदि $z = x + iy$ , तो $\bar{z} = x - iy$ होता है।

Step 3: व्यंजक के पदों की गणना करना

अब हम दिए गए व्यंजक के प्रत्येक पद की गणना करते हैं: $z_1 \bar{z}_2$ , $z_2 \bar{z}_3$ , और $z_3 \bar{z}_1$ । ध्यान दें कि $z_3 \bar{z}_1$ के लिए, हम $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ सूत्र का उपयोग करते हैं।

Step 4: व्यंजक का योग और मापांक वर्ग ज्ञात करना

हम सभी तीन पदों को जोड़ते हैं और फिर परिणामी जटिल संख्या का मापांक वर्ग ज्ञात करते हैं। चूंकि परिणाम एक वास्तविक संख्या है, इसका मापांक वर्ग केवल संख्या का वर्ग है।

Step 5: अल्फा और बीटा के मान ज्ञात करना

दिए गए समीकरण $|z_1 \bar{z}_2 + z_2 \bar{z}_3 + z_3 \bar{z}_1|^2 = \alpha + \beta \sqrt{2}$ से तुलना करने पर, हम $\alpha$ और $\beta$ के मान प्राप्त करते हैं।

Step 6: अंतिम मान की गणना करना

अंत में, हम $\alpha^2 + \beta^2$ का मान ज्ञात करते हैं।

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