Let z1,z2, and z3 be three complex numbers on the circle ∣z∣=1 with arg(z1)=4π, arg(z2)=0, and arg(z3)=4π. If ∣z1zˉ2+z2zˉ3+z3zˉ1∣2=α+β2, α,β∈Z, then the value of α2+β2 is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: जटिल संख्याओं को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करना
चूंकि जटिल संख्याएँ इकाई वृत्त पर हैं, इसलिए उनका मापांक ∣z∣=1 है। हम प्रत्येक जटिल संख्या को उसके ध्रुवीय रूप z=∣z∣(cosθ+isinθ) का उपयोग करके व्यक्त करते हैं, जहाँ θ तर्क है। दिए गए तर्कों का उपयोग करके, हम z1,z2, और z3 के मानों की गणना करते हैं।
Step 2: संयुग्मी जटिल संख्याओं की गणना करना
जटिल संख्याओं के संयुग्मी की गणना करना आवश्यक है। यदि z=x+iy, तो zˉ=x−iy होता है।
Step 3: व्यंजक के पदों की गणना करना
अब हम दिए गए व्यंजक के प्रत्येक पद की गणना करते हैं: z1zˉ2, z2zˉ3, और z3zˉ1 । ध्यान दें कि z3zˉ1 के लिए, हम (a+b)(a−b)=a2−b2 सूत्र का उपयोग करते हैं।
Step 4: व्यंजक का योग और मापांक वर्ग ज्ञात करना
हम सभी तीन पदों को जोड़ते हैं और फिर परिणामी जटिल संख्या का मापांक वर्ग ज्ञात करते हैं। चूंकि परिणाम एक वास्तविक संख्या है, इसका मापांक वर्ग केवल संख्या का वर्ग है।
Step 5: अल्फा और बीटा के मान ज्ञात करना
दिए गए समीकरण ∣z1zˉ2+z2zˉ3+z3zˉ1∣2=α+β2 से तुलना करने पर, हम α और β के मान प्राप्त करते हैं।
Step 6: अंतिम मान की गणना करना
अंत में, हम α2+β2 का मान ज्ञात करते हैं।