पिछले चरण से प्राप्त समीकरण में z = (1)/(z) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 + k² z = k² z + k z ((1)/(z)) मिलता है। इसे सरल करने पर 2 + k² z = k² z + k प्राप्त होता है। k² z पद दोनों तरफ से रद्द हो जाता है, जिससे हमें 2 = k मिलता है।

पिछले चरण से प्राप्त समीकरण में z = (1)/(z) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2 + k² z = k² z + k z ((1)/(z)) मिलता है। इसे सरल करने पर 2 + k² z = k² z + k प्राप्त होता है। k² z पद दोनों तरफ से रद्द हो जाता है, जिससे हमें 2 = k मिलता है।

Let $z$ be a complex number such that $|z|=1$ . If $\displaystyle\frac{2 + k^2 z}{k + \overline{z}} = k z$ , $k\in\mathbb{R}$ , then the maximum distance of $k + i k^2$ from the circle $|z - (1 + 2i)| = 1$ is:

Answer: $\sqrt{5} + 1$

Step-by-step solution

Step 1: समीकरण को सरल करें

दिए गए समीकरण को सरल करने के लिए, हम हर को दाहिनी ओर गुणा करते हैं। हमें दिया गया है कि $z$ एक सम्मिश्र संख्या है जहाँ $|z|=1$ है। इसका अर्थ है कि $z\overline{z} = |z|^2 = 1$ है, इसलिए $\overline{z} = \frac{1}{z}$ । हम इस संबंध का उपयोग समीकरण को सरल करने के लिए करेंगे।

Step 2: z के लिए हल करें

पिछले चरण से प्राप्त समीकरण में $\overline{z} = \frac{1}{z}$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $2 + k^2 z = k^2 z + k z \left(\frac{1}{z}\right)$ मिलता है। इसे सरल करने पर $2 + k^2 z = k^2 z + k$ प्राप्त होता है। $k^2 z$ पद दोनों तरफ से रद्द हो जाता है, जिससे हमें $2 = k$ मिलता है।

Step 3: बिंदु ज्ञात करें

अब जब हमने $k$ का मान $2$ ज्ञात कर लिया है, तो हम उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं जिसकी अधिकतम दूरी हमें ज्ञात करनी है। बिंदु $k + i k^2$ है। $k=2$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $2 + i (2)^2 = 2 + 4i$ मिलता है।

Step 4: वृत्त के केंद्र और त्रिज्या की पहचान करें

वृत्त का समीकरण $|z - (1 + 2i)| = 1$ दिया गया है। यह एक वृत्त का मानक रूप है जिसका केंद्र $C = (1, 2)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।

Step 5: केंद्र से बिंदु की दूरी ज्ञात करें

हमें बिंदु $P = (2, 4)$ से वृत्त के केंद्र $C = (1, 2)$ तक की दूरी ज्ञात करनी है। दूरी सूत्र का उपयोग करके, $d = \sqrt{(2-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$ ।

Step 6: अधिकतम दूरी ज्ञात करें

एक बिंदु से एक वृत्त तक की अधिकतम दूरी केंद्र से बिंदु तक की दूरी और वृत्त की त्रिज्या का योग होती है। इसलिए, अधिकतम दूरी $d + r = \sqrt{5} + 1$ है।

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Let zzz be a complex number such that ∣z∣=1|z|=1∣z∣=1. If 2+k2zk+z‾=kz\displaystyle\frac{2 + k^2 z}{k + \overline{z}} = k zk+z2+k2z​=kz, k∈Rk\in\mathbb{R}k∈R, then the maximum distance of k+ik2k + i k^2k+ik2 from the circle ∣z−(1+2i)∣=1|z - (1 + 2i)| = 1∣z−(1+2i)∣=1 is: