Let z be a complex number such that ∣z∣=1. If k+z2+k2z=kz, k∈R, then the maximum distance of k+ik2 from the circle ∣z−(1+2i)∣=1 is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: समीकरण को सरल करें
दिए गए समीकरण को सरल करने के लिए, हम हर को दाहिनी ओर गुणा करते हैं। हमें दिया गया है कि z एक सम्मिश्र संख्या है जहाँ ∣z∣=1 है। इसका अर्थ है कि zz=∣z∣2=1 है, इसलिए z=z1 । हम इस संबंध का उपयोग समीकरण को सरल करने के लिए करेंगे।
Step 2: z के लिए हल करें
पिछले चरण से प्राप्त समीकरण में z=z1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2+k2z=k2z+kz(z1) मिलता है। इसे सरल करने पर 2+k2z=k2z+k प्राप्त होता है। k2z पद दोनों तरफ से रद्द हो जाता है, जिससे हमें 2=k मिलता है।
Step 3: बिंदु ज्ञात करें
अब जब हमने k का मान 2 ज्ञात कर लिया है, तो हम उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं जिसकी अधिकतम दूरी हमें ज्ञात करनी है। बिंदु k+ik2 है। k=2 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 2+i(2)2=2+4i मिलता है।
Step 4: वृत्त के केंद्र और त्रिज्या की पहचान करें
वृत्त का समीकरण ∣z−(1+2i)∣=1 दिया गया है। यह एक वृत्त का मानक रूप है जिसका केंद्र C=(1,2) और त्रिज्या r=1 है।
Step 5: केंद्र से बिंदु की दूरी ज्ञात करें
हमें बिंदु P=(2,4) से वृत्त के केंद्र C=(1,2) तक की दूरी ज्ञात करनी है। दूरी सूत्र का उपयोग करके, d=(2−1)2+(4−2)2=12+22=1+4=5 ।
Step 6: अधिकतम दूरी ज्ञात करें
एक बिंदु से एक वृत्त तक की अधिकतम दूरी केंद्र से बिंदु तक की दूरी और वृत्त की त्रिज्या का योग होती है। इसलिए, अधिकतम दूरी d+r=5+1 है।