Line $L_1$ of slope $2$ and line $L_2$ of slope $\tfrac12$ intersect at the origin $O$ . In the first quadrant, $P_1,P_2,\dots,P_{12}$ are 12 points on $L_1$ and $Q_1,Q_2,\dots,Q_9$ are 9 points on $L_2$ . Then the total number of triangles that can be formed with vertices chosen from the 22 points $O,P_1,\dots,P_{12},Q_1,\dots,Q_9$ is:

Answer: 1134

Step-by-step solution

Step 1: कुल बिंदुओं की पहचान करें

सबसे पहले, हमें उन सभी बिंदुओं की कुल संख्या ज्ञात करनी होगी जिनसे त्रिभुज बनाए जा सकते हैं। इसमें मूल बिंदु $O$ , रेखा $L_1$ पर 12 बिंदु और रेखा $L_2$ पर 9 बिंदु शामिल हैं।

Step 2: कुल संभावित त्रिभुजों की गणना करें

यदि कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं होते, तो $N$ बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या $C(N, 3)$ होती। हम इस सूत्र का उपयोग करके कुल संभावित त्रिभुजों की गणना करते हैं।

Step 3: संरेख बिंदुओं की पहचान करें

त्रिभुज बनाने के लिए तीन बिंदुओं का संरेख नहीं होना आवश्यक है। रेखा $L_1$ पर $O$ सहित 13 बिंदु हैं, और रेखा $L_2$ पर $O$ सहित 10 बिंदु हैं। ये संरेख बिंदु त्रिभुज नहीं बना सकते।

Step 4: संरेख बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुजों को घटाएँ

हमें उन त्रिभुजों की संख्या घटानी होगी जो संरेख बिंदुओं से बनते हैं। रेखा $L_1$ पर 13 संरेख बिंदु हैं, और रेखा $L_2$ पर 10 संरेख बिंदु हैं।

Step 5: अंतिम परिणाम की गणना करें

कुल संभावित त्रिभुजों में से, हम उन त्रिभुजों की संख्या घटाते हैं जो रेखा $L_1$ पर संरेख बिंदुओं से बनते हैं और उन त्रिभुजों की संख्या घटाते हैं जो रेखा $L_2$ पर संरेख बिंदुओं से बनते हैं।

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