Line L1 of slope 2 and line L2 of slope 21 intersect at the origin O. In the first quadrant, P1,P2,…,P12 are 12 points on L1 and Q1,Q2,…,Q9 are 9 points on L2. Then the total number of triangles that can be formed with vertices chosen from the 22 points O,P1,…,P12,Q1,…,Q9 is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: कुल बिंदुओं की पहचान करें
सबसे पहले, हमें उन सभी बिंदुओं की कुल संख्या ज्ञात करनी होगी जिनसे त्रिभुज बनाए जा सकते हैं। इसमें मूल बिंदु O, रेखा L1 पर 12 बिंदु और रेखा L2 पर 9 बिंदु शामिल हैं।
Step 2: कुल संभावित त्रिभुजों की गणना करें
यदि कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं होते, तो N बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुजों की कुल संख्या C(N, 3) होती। हम इस सूत्र का उपयोग करके कुल संभावित त्रिभुजों की गणना करते हैं।
Step 3: संरेख बिंदुओं की पहचान करें
त्रिभुज बनाने के लिए तीन बिंदुओं का संरेख नहीं होना आवश्यक है। रेखा L1 पर O सहित 13 बिंदु हैं, और रेखा L2 पर O सहित 10 बिंदु हैं। ये संरेख बिंदु त्रिभुज नहीं बना सकते।
Step 4: संरेख बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुजों को घटाएँ
हमें उन त्रिभुजों की संख्या घटानी होगी जो संरेख बिंदुओं से बनते हैं। रेखा L1 पर 13 संरेख बिंदु हैं, और रेखा L2 पर 10 संरेख बिंदु हैं।
Step 5: अंतिम परिणाम की गणना करें
कुल संभावित त्रिभुजों में से, हम उन त्रिभुजों की संख्या घटाते हैं जो रेखा L1 पर संरेख बिंदुओं से बनते हैं और उन त्रिभुजों की संख्या घटाते हैं जो रेखा L2 पर संरेख बिंदुओं से बनते हैं।