चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें पहले दिए गए वक्र y = ln(sec x) का x के सापेक्ष अवकलन (dy)/(dx) ज्ञात करना होगा। ln(u) का अवकलन (1)/(u) (du)/(dx) होता है। यहाँ u = sec x है, जिसका अवकलन sec x tan x होता है। इस प्रकार, (dy)/(dx) = tan x प्राप्त होता है।

चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें पहले दिए गए वक्र y = ln(sec x) का x के सापेक्ष अवकलन (dy)/(dx) ज्ञात करना होगा। ln(u) का अवकलन (1)/(u) (du)/(dx) होता है। यहाँ u = sec x है, जिसका अवकलन sec x tan x होता है। इस प्रकार, (dy)/(dx) = tan x प्राप्त होता है।

एक वक्र की चाप लंबाई L को सूत्र L = ∫_a^(b) √(1 + ((dy)/(dx))²) dx का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। हम a=0, b=(π)/(4) और (dy)/(dx) = tan x को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

एक वक्र की चाप लंबाई L को सूत्र L = ∫_a^(b) √(1 + ((dy)/(dx))²) dx का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। हम a=0, b=(π)/(4) और (dy)/(dx) = tan x को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

MODIFIED: Find the arc length of the curve $y = ln\text{(sec x)}$ from $x = 0$ to x = π/4.

Answer: वक्र की चाप लंबाई $L = \ln(\sqrt{2} + 1)$ है।

Step-by-step solution

Step 1: वक्र का अवकलन ज्ञात करें

चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें पहले दिए गए वक्र $y = \ln(\sec x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करना होगा। $\ln(u)$ का अवकलन $\frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ होता है। यहाँ $u = \sec x$ है, जिसका अवकलन $\sec x \tan x$ होता है। इस प्रकार, $\frac{dy}{dx} = \tan x$ प्राप्त होता है।

Step 2: चाप लंबाई सूत्र में प्रतिस्थापित करें

एक वक्र की चाप लंबाई $L$ को सूत्र $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$ का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। हम $a=0$ , $b=\frac{\pi}{4}$ और $\frac{dy}{dx} = \tan x$ को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 3: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करें

हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ का उपयोग करके समाकल के अंदर के व्यंजक को सरल करते हैं। वर्गमूल लेने पर हमें $|\sec x|$ प्राप्त होता है। चूंकि $x$ का मान $0$ से $\frac{\pi}{4}$ के बीच है, $\sec x$ धनात्मक होता है, इसलिए $|\sec x| = \sec x$ ।

Step 4: समाकल का मूल्यांकन करें

अब हमें $\sec x$ का समाकल ज्ञात करना है। $\sec x$ का मानक समाकल $\ln|\sec x + \tan x|$ होता है। हम इस समाकल का मूल्यांकन $0$ से $\frac{\pi}{4}$ की सीमाओं के बीच करते हैं।

Step 5: सीमाओं पर मूल्यांकन करें

हम समाकल के ऊपरी और निचली सीमाओं पर मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। हमें पता है कि $\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ , $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ , $\sec(0) = 1$ , और $\tan(0) = 0$ ।

Step 6: परिणाम को सरल करें

मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हम व्यंजक को सरल करते हैं। $\ln(1) = 0$ होता है। इसलिए, चाप की लंबाई $\ln(\sqrt{2} + 1)$ है।

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MODIFIED: Find the arc length of the curve y=ln(sec x)y = ln\text{(sec x)}y=ln(sec x) from x=0x = 0x=0 to x = π/4.