MODIFIED: Find the arc length of the curve y=ln(sec x) from x=0 to x = π/4.
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Step-by-Step Solution
Step 1: वक्र का अवकलन ज्ञात करें
चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें पहले दिए गए वक्र y=ln(secx) का x के सापेक्ष अवकलन dxdy ज्ञात करना होगा। ln(u) का अवकलन u1dxdu होता है। यहाँ u=secx है, जिसका अवकलन secxtanx होता है। इस प्रकार, dxdy=tanx प्राप्त होता है।
Step 2: चाप लंबाई सूत्र में प्रतिस्थापित करें
एक वक्र की चाप लंबाई L को सूत्र L=∫ab1+(dxdy)2dx का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। हम a=0, b=4π और dxdy=tanx को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 3: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करें
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1+tan2x=sec2x का उपयोग करके समाकल के अंदर के व्यंजक को सरल करते हैं। वर्गमूल लेने पर हमें ∣secx∣ प्राप्त होता है। चूंकि x का मान 0 से 4π के बीच है, secx धनात्मक होता है, इसलिए ∣secx∣=secx ।
Step 4: समाकल का मूल्यांकन करें
अब हमें secx का समाकल ज्ञात करना है। secx का मानक समाकल ln∣secx+tanx∣ होता है। हम इस समाकल का मूल्यांकन 0 से 4π की सीमाओं के बीच करते हैं।
Step 5: सीमाओं पर मूल्यांकन करें
हम समाकल के ऊपरी और निचली सीमाओं पर मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। हमें पता है कि sec(4π)=2, tan(4π)=1, sec(0)=1, और tan(0)=0 ।
Step 6: परिणाम को सरल करें
मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, हम व्यंजक को सरल करते हैं। ln(1)=0 होता है। इसलिए, चाप की लंबाई ln(2+1) है।