सबसे पहले, हम दी गई विषम रेखाओं के समीकरणों से सदिश a_1, b_1, a_2 और b_2 की पहचान करते हैं। यहाँ, a_1 और a_2 रेखाओं पर स्थित बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं, और b_1 और b_2 रेखाओं की दिशा सदिश हैं।

सबसे पहले, हम दी गई विषम रेखाओं के समीकरणों से सदिश a_1, b_1, a_2 और b_2 की पहचान करते हैं। यहाँ, a_1 और a_2 रेखाओं पर स्थित बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं, और b_1 और b_2 रेखाओं की दिशा सदिश हैं।

इसके बाद, हम दिशा सदिशों b_1 और b_2 का क्रॉस उत्पाद ज्ञात करते हैं। यह सदिश दोनों रेखाओं के लंबवत होता है।

इसके बाद, हम दिशा सदिशों b_1 और b_2 का क्रॉस उत्पाद ज्ञात करते हैं। यह सदिश दोनों रेखाओं के लंबवत होता है।

विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं जिसमें a_2 - a_1 और b_1 × b_2 का अदिश गुणनफल शामिल होता है, जिसे b_1 × b_2 के परिमाण से विभाजित किया जाता है।

विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं जिसमें a_2 - a_1 और b_1 × b_2 का अदिश गुणनफल शामिल होता है, जिसे b_1 × b_2 के परिमाण से विभाजित किया जाता है।

अब हम a_2 - a_1 और b_1 × b_2 का अदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं।

इसके बाद, हम सदिश b_1 × b_2 का परिमाण ज्ञात करते हैं।

MODIFIED: Find the shortest distance between the skew lines: r⃗₁ = (i + j + k) + λ( $2i + 3j + 4k$ ) and r⃗₂ = ( $2i + 3j + 5k$ ) + μ(i + $2j + 3k$ ).

Answer: विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{6}}$ या $\frac{\sqrt{6}}{6}$ है।

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए सदिशों की पहचान करें

सबसे पहले, हम दी गई विषम रेखाओं के समीकरणों से सदिश $\vec{a}_1, \vec{b}_1, \vec{a}_2$ और $\vec{b}_2$ की पहचान करते हैं। यहाँ, $\vec{a}_1$ और $\vec{a}_2$ रेखाओं पर स्थित बिंदुओं के स्थिति सदिश हैं, और $\vec{b}_1$ और $\vec{b}_2$ रेखाओं की दिशा सदिश हैं।

Step 2: सदिश $\vec{a}_2 - \vec{a}_1$ ज्ञात करें

अब, हम सदिश $\vec{a}_2 - \vec{a}_1$ की गणना करते हैं, जो दोनों रेखाओं पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाला सदिश है।

Step 3: सदिश $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ ज्ञात करें

इसके बाद, हम दिशा सदिशों $\vec{b}_1$ और $\vec{b}_2$ का क्रॉस उत्पाद ज्ञात करते हैं। यह सदिश दोनों रेखाओं के लंबवत होता है।

Step 4: न्यूनतम दूरी का सूत्र लागू करें

विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं जिसमें $\vec{a}_2 - \vec{a}_1$ और $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ का अदिश गुणनफल शामिल होता है, जिसे $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ के परिमाण से विभाजित किया जाता है।

Step 5: अदिश गुणनफल और परिमाण की गणना करें

अब हम $\vec{a}_2 - \vec{a}_1$ और $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ का अदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं।

Step 6: परिमाण की गणना करें

इसके बाद, हम सदिश $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ का परिमाण ज्ञात करते हैं।

Step 7: न्यूनतम दूरी की गणना करें

अंत में, हम न्यूनतम दूरी की गणना करने के लिए सभी मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

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MODIFIED: Find the shortest distance between the skew lines: r⃗₁ = (i + j + k) + λ(2i+3j+4k2i + 3j + 4k2i+3j+4k) and r⃗₂ = (2i+3j+5k2i + 3j + 5k2i+3j+5k) + μ(i + 2j+3k2j + 3k2j+3k).