MODIFIED: Given that variable_91, variable_91, variable_91 are roots of x³ - 3x² + 4 = 0, find the value of variable_91⁴ + variable_91⁴ + variable_91⁴.
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Step-by-Step Solution
Step 1: मूलों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित करें
हम जानते हैं कि एक घन समीकरण ax3+bx2+cx+d=0 के मूलों α,β,γ और उसके गुणांकों के बीच निम्नलिखित संबंध होते हैं: α+β+γ=−b/a, αβ+βγ+γα=c/a, और αβγ=−d/a । दिए गए समीकरण x3−3x2+0x+4=0 से, हम इन संबंधों को प्राप्त करते हैं।
Step 2: α2+β2+γ2 का मान ज्ञात करें
हम जानते हैं कि (α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2(αβ+βγ+γα) । इस सूत्र का उपयोग करके, हम α2+β2+γ2 का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 3: प्रत्येक मूल समीकरण को संतुष्ट करता है
चूंकि α,β,γ समीकरण x3−3x2+4=0 के मूल हैं, इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। हम प्रत्येक मूल के लिए α3,β3,γ3 को 3α2−4, 3β2−4, 3γ2−4 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
Step 4: α4+β4+γ4 का मान ज्ञात करें
प्रत्येक मूल के लिए α3=3α2−4 का उपयोग करके, हम α4=3α3−4α प्राप्त करने के लिए α से गुणा करते हैं। इसी तरह β और γ के लिए भी। फिर हम α4+β4+γ4 के लिए व्यंजक को सरल बनाने के लिए इन मानों को जोड़ते हैं।