MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने, अर्थपूर्ण या अर्थहीन, शब्द बन सकते हैं, यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती है, यदि
(i) एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं?
(ii) एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं?
(iii) सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किंतु प्रथम अक्षर एक स्वर है?
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Step-by-Step Solution
Step 1: उपलब्ध अक्षरों की पहचान करें
सबसे पहले, हमें 'MONDAY' शब्द में उपलब्ध अक्षरों की पहचान करनी होगी। 'MONDAY' शब्द में 6 अलग-अलग अक्षर हैं: M, O, N, D, A, Y।
Step 2: केस (i): एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं
जब एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं और अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है, तो हम क्रमचय सूत्र
P(n,r)=(n−r)n!!
का उपयोग करते हैं। यहाँ
n=6
(कुल अक्षर) और
r=4
(एक समय में लिए गए अक्षर) हैं। गणना करने पर हमें 360 शब्द मिलते हैं।
Step 3: केस (ii): एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं
जब एक समय में सभी 6 अक्षर लिए जाते हैं, तो यह
n
वस्तुओं के क्रमचय के समान है, जो
n!
के बराबर होता है। यहाँ
n=6
है, इसलिए
6!
की गणना करने पर हमें 720 शब्द मिलते हैं।
Step 4: केस (iii): सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है, किंतु प्रथम अक्षर एक स्वर है
इस स्थिति में, पहला अक्षर एक स्वर होना चाहिए। 'MONDAY' में 2 स्वर (O, A) हैं। इसलिए, पहले स्थान के लिए 2 विकल्प हैं। शेष 5 अक्षरों को शेष 5 स्थानों पर
5!
तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। कुल शब्दों की संख्या
2×5!=2×120=240
होगी।