गुणोत्तर श्रेणी में, प्रत्येक पद पिछले पद को एक सामान्य अनुपात r से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इसलिए, पदों को a, ar, ar², ar^{n-1} के रूप में लिखा जा सकता है। हमें दिया गया है कि n वाँ पद b के बराबर है, इसलिए ar^{n-1} = b ।

गुणोत्तर श्रेणी में, प्रत्येक पद पिछले पद को एक सामान्य अनुपात r से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इसलिए, पदों को a, ar, ar², ar^{n-1} के रूप में लिखा जा सकता है। हमें दिया गया है कि n वाँ पद b के बराबर है, इसलिए ar^{n-1} = b ।

यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा $n$ वाँ पद क्रमशः $a$ तथा $b$ हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि $P^2 = (ab)^n$

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Step-by-Step Solution

Step 1: गुणोत्तर श्रेणी के पदों को लिखें

गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $a_1$ दिया गया है, जो $a$ के बराबर है। $n$ वाँ पद $a_n$ दिया गया है, जो $b$ के बराबर है। $P$ गुणोत्तर श्रेणी के सभी $n$ पदों का गुणनफल है।

Step 2: गुणोत्तर श्रेणी के पदों को सामान्य अनुपात के रूप में व्यक्त करें

गुणोत्तर श्रेणी में, प्रत्येक पद पिछले पद को एक सामान्य अनुपात $r$ से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। इसलिए, पदों को $a, ar, ar^2, \ldots, ar^{n-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है। हमें दिया गया है कि $n$ वाँ पद $b$ के बराबर है, इसलिए $ar^{n-1} = b$ ।

Step 3: गुणनफल $P$ को व्यक्त करें

सभी $n$ पदों का गुणनफल $P$ है। जब हम इन पदों को गुणा करते हैं, तो हमें $a$ की घात $n$ मिलती है और $r$ की घात $0$ से $n-1$ तक के घातांकों का योग मिलती है। $0$ से $n-1$ तक के पूर्णांकों का योग $\frac{n(n-1)}{2}$ होता है।

Step 4: $P^2$ का मान ज्ञात करें

अब हम $P$ के व्यंजक का वर्ग करते हैं। घातांकों के नियम का उपयोग करके, $(x^m)^k = x^{mk}$ , हम $a$ और $r$ के घातांकों को 2 से गुणा करते हैं।

Step 5: $(ab)^n$ का मान ज्ञात करें

हमें दिया गया है कि $b = ar^{n-1}$ । अब हम $ab$ का मान ज्ञात करते हैं और फिर उसका $n$ वाँ घात लेते हैं। घातांकों के नियम का उपयोग करके, हम $a^2$ और $r^{n-1}$ के घातांकों को $n$ से गुणा करते हैं।

Step 6: परिणामों की तुलना करें

हमने देखा कि $P^2$ और $(ab)^n$ दोनों का मान $a^{2n} r^{n(n-1)}$ के बराबर है। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $P^2 = (ab)^n$ ।