दी गई श्रेणी 5 + 55 + 555 + है। हम इस श्रेणी के n पदों का योग S_n ज्ञात करना चाहते हैं।

अब, हम कोष्ठक के अंदर के प्रत्येक पद को 9 से गुणा और भाग करते हैं। यह हमें 9 + 99 + 999 + की श्रेणी देता है, जिसे हम आसानी से व्यक्त कर सकते हैं।

अब, हम कोष्ठक के अंदर के प्रत्येक पद को 9 से गुणा और भाग करते हैं। यह हमें 9 + 99 + 999 + की श्रेणी देता है, जिसे हम आसानी से व्यक्त कर सकते हैं।

हम प्रत्येक पद को 10^k - 1 के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, 9 = 10 - 1 , 99 = 10² - 1 , 999 = 10³ - 1 , और इसी तरह n पदों तक।

हम प्रत्येक पद को 10^k - 1 के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, 9 = 10 - 1 , 99 = 10² - 1 , 999 = 10³ - 1 , और इसी तरह n पदों तक।

अब हम श्रेणी को दो भागों में विभाजित करते हैं: एक ज्यामितीय श्रेणी ( 10 + 10² + + 10^n ) और एक अंकगणितीय श्रेणी ( 1 + 1 + + n बार)।

अब हम श्रेणी को दो भागों में विभाजित करते हैं: एक ज्यामितीय श्रेणी ( 10 + 10² + + 10^n ) और एक अंकगणितीय श्रेणी ( 1 + 1 + + n बार)।

निम्नलिखित श्रेणियों के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए। (i) $5 + 55 + 555 + \dots$

Get the complete, step-by-step math solution for: "निम्नलिखित श्रेणियों के n पदों का योग ज्ञात कीजिए। (i) 5 + 55 + 555 +". Powered by SolveForX AI math tutor.

Step-by-Step Solution

Step 1: श्रेणी को सरल बनाना

दी गई श्रेणी $5 + 55 + 555 + \dots$ है। हम इस श्रेणी के $n$ पदों का योग $S_n$ ज्ञात करना चाहते हैं।

Step 2: 5 को उभयनिष्ठ लेना

हम प्रत्येक पद से 5 को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकाल सकते हैं। इससे श्रेणी $1 + 11 + 111 + \dots$ में बदल जाती है।

Step 3: 9 से गुणा और भाग करना

अब, हम कोष्ठक के अंदर के प्रत्येक पद को 9 से गुणा और भाग करते हैं। यह हमें $9 + 99 + 999 + \dots$ की श्रेणी देता है, जिसे हम आसानी से व्यक्त कर सकते हैं।

Step 4: पदों को 10 की घातों के रूप में व्यक्त करना

हम प्रत्येक पद को $10^k - 1$ के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, $9 = 10 - 1$ , $99 = 10^2 - 1$ , $999 = 10^3 - 1$ , और इसी तरह $n$ पदों तक।

Step 5: श्रेणी को दो भागों में विभाजित करना

अब हम श्रेणी को दो भागों में विभाजित करते हैं: एक ज्यामितीय श्रेणी ( $10 + 10^2 + \dots + 10^n$ ) और एक अंकगणितीय श्रेणी ( $1 + 1 + \dots + n$ बार)।

Step 6: ज्यामितीय श्रेणी के योग का सूत्र लागू करना

ज्यामितीय श्रेणी $10 + 10^2 + \dots + 10^n$ के लिए, पहला पद $a = 10$ और सार्व अनुपात $r = 10$ है। $n$ पदों के योग का सूत्र $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ है। $1 + 1 + \dots + n$ बार का योग $n$ है।

Step 7: सरलीकरण

हम हर को सरल करते हैं $10 - 1 = 9$ । यह हमें श्रेणी के $n$ पदों के योग का अंतिम व्यंजक देता है।