केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ=2∠OPQ है। [आकृति आवश्यक: केंद्र O वाला वृत्त, बाह्य बिंदु T, बिंदु P और Q पर स्पर्श करती स्पर्श रेखाएँ TP और TQ।]
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Step-by-Step Solution
Step 1: दी गई जानकारी
हमें दिया गया है कि TP और TQ, केंद्र O वाले एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जिन्हें एक बाह्य बिंदु T से खींचा गया है। P और Q स्पर्श बिंदु हैं।
Step 2: स्पर्श रेखा की संपत्ति
एक बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। इसलिए, TP = TQ। यह त्रिभुज TPQ को एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है।
Step 3: समद्विबाहु त्रिभुज TPQ में कोण
त्रिभुज TPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है क्योंकि TP = TQ। इसलिए, आधार कोण बराबर होंगे, अर्थात ∠TPQ=∠TQP । त्रिभुज के कोणों का योग 180∘ होता है, इसलिए ∠TPQ=21(180∘−∠PTQ) ।
Step 4: स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या की संपत्ति
त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। इसलिए, त्रिज्या OP स्पर्श रेखा TP पर लंबवत है, जिसका अर्थ है कि ∠OPT=90∘ ।
Step 5: कोणों के बीच संबंध
हम ∠OPQ को ∠OPT और ∠TPQ के अंतर के रूप में लिख सकते हैं। दूसरे शब्दों में, ∠OPQ=90∘−∠TPQ ।
Step 6: मानों को प्रतिस्थापित करें
पिछले चरण से ∠TPQ के मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है। यह हमें ∠OPQ और ∠PTQ के बीच संबंध स्थापित करने में मदद करेगा।
Step 7: समीकरण को सरल करें
कोष्ठकों को खोलने और पदों को सरल करने पर, 90∘−90∘ आपस में कट जाते हैं, जिससे ∠OPQ=21∠PTQ प्राप्त होता है।
Step 8: अंतिम परिणाम
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें ∠PTQ=2∠OPQ प्राप्त होता है, जो कि सिद्ध करने के लिए आवश्यक परिणाम है।