त्रिभुज TPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है क्योंकि TP = TQ। इसलिए, आधार कोण बराबर होंगे, अर्थात TPQ = TQP। त्रिभुज के कोणों का योग 180^° होता है, इसलिए TPQ = (1)/(2) (180^° - PTQ)।

त्रिभुज TPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है क्योंकि TP = TQ। इसलिए, आधार कोण बराबर होंगे, अर्थात TPQ = TQP। त्रिभुज के कोणों का योग 180^° होता है, इसलिए TPQ = (1)/(2) (180^° - PTQ)।

हम OPQ को OPT और TPQ के अंतर के रूप में लिख सकते हैं। दूसरे शब्दों में, OPQ = 90^° - TPQ।

पिछले चरण से TPQ के मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है। यह हमें OPQ और PTQ के बीच संबंध स्थापित करने में मदद करेगा।

पिछले चरण से TPQ के मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है। यह हमें OPQ और PTQ के बीच संबंध स्थापित करने में मदद करेगा।

कोष्ठकों को खोलने और पदों को सरल करने पर, 90^° - 90^° आपस में कट जाते हैं, जिससे OPQ = (1)/(2) PTQ प्राप्त होता है।

कोष्ठकों को खोलने और पदों को सरल करने पर, 90^° - 90^° आपस में कट जाते हैं, जिससे OPQ = (1)/(2) PTQ प्राप्त होता है।

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें PTQ = 2 OPQ प्राप्त होता है, जो कि सिद्ध करने के लिए आवश्यक परिणाम है।

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें PTQ = 2 OPQ प्राप्त होता है, जो कि सिद्ध करने के लिए आवश्यक परिणाम है।

केंद्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP तथा TQ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle PTQ = 2 \angle OPQ$ है। [आकृति आवश्यक: केंद्र O वाला वृत्त, बाह्य बिंदु T, बिंदु P और Q पर स्पर्श करती स्पर्श रेखाएँ TP और TQ।]

Answer: यह सिद्ध हो गया है कि $\angle PTQ = 2 \angle OPQ$ है।

Step-by-step solution

Step 1: दी गई जानकारी

हमें दिया गया है कि TP और TQ, केंद्र O वाले एक वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं जिन्हें एक बाह्य बिंदु T से खींचा गया है। P और Q स्पर्श बिंदु हैं।

Step 2: स्पर्श रेखा की संपत्ति

एक बाह्य बिंदु से एक वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है। इसलिए, TP = TQ। यह त्रिभुज TPQ को एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है।

Step 3: समद्विबाहु त्रिभुज TPQ में कोण

त्रिभुज TPQ एक समद्विबाहु त्रिभुज है क्योंकि TP = TQ। इसलिए, आधार कोण बराबर होंगे, अर्थात $\angle TPQ = \angle TQP$ । त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है, इसलिए $\angle TPQ = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle PTQ)$ ।

Step 4: स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या की संपत्ति

त्रिज्या स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। इसलिए, त्रिज्या OP स्पर्श रेखा TP पर लंबवत है, जिसका अर्थ है कि $\angle OPT = 90^\circ$ ।

Step 5: कोणों के बीच संबंध

हम $\angle OPQ$ को $\angle OPT$ और $\angle TPQ$ के अंतर के रूप में लिख सकते हैं। दूसरे शब्दों में, $\angle OPQ = 90^\circ - \angle TPQ$ ।

Step 6: मानों को प्रतिस्थापित करें

पिछले चरण से $\angle TPQ$ के मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है। यह हमें $\angle OPQ$ और $\angle PTQ$ के बीच संबंध स्थापित करने में मदद करेगा।

Step 7: समीकरण को सरल करें

कोष्ठकों को खोलने और पदों को सरल करने पर, $90^\circ - 90^\circ$ आपस में कट जाते हैं, जिससे $\angle OPQ = \frac{1}{2} \angle PTQ$ प्राप्त होता है।

Step 8: अंतिम परिणाम

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\angle PTQ = 2 \angle OPQ$ प्राप्त होता है, जो कि सिद्ध करने के लिए आवश्यक परिणाम है।

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