हिंदी में जवाब दो: Observe the pattern: 1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9. Using this pattern, find the sum of the first 8 odd numbers and explain why the pattern works.
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Step-by-Step Solution
Step 1: पैटर्न का अवलोकन करें
दिए गए पैटर्न का अवलोकन करने पर, हम देखते हैं कि पहले n विषम संख्याओं का योग n2 के बराबर है।
Step 2: पैटर्न को पहचानें
पैटर्न से पता चलता है कि पहली n विषम संख्याओं का योग n के वर्ग के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, पहली 1 विषम संख्या का योग 12=1 है, पहली 2 विषम संख्याओं का योग 22=4 है, और पहली 3 विषम संख्याओं का योग 32=9 है।
Step 3: पहली 8 विषम संख्याओं का योग ज्ञात करें
पैटर्न के अनुसार, पहली 8 विषम संख्याओं का योग 82 के बराबर होगा। 82 की गणना करने पर हमें 64 प्राप्त होता है।
Step 4: पैटर्न क्यों काम करता है, इसकी व्याख्या करें
यह पैटर्न काम करता है क्योंकि विषम संख्याएँ एक अंकगणितीय प्रगति (AP) बनाती हैं। पहली n विषम संख्याओं का योग Sn=2n[2a+(n−1)d] सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है, जहाँ a=1 (पहली विषम संख्या) और d=2 (सामान्य अंतर) है। इस सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें Sn=2n[2(1)+(n−1)2]=2n[2+2n−2]=2n[2n]=n2 प्राप्त होता है।