हिंदी में जवाब दो: Observe the pattern: 1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9. Using this pattern, find the sum of the first 8 odd numbers and explain why the pattern works.

Step 1: पैटर्न का अवलोकन करें

दिए गए पैटर्न का अवलोकन करने पर, हम देखते हैं कि पहले $n$ विषम संख्याओं का योग $n^2$ के बराबर है।

Step 2: पैटर्न को पहचानें

पैटर्न से पता चलता है कि पहली $n$ विषम संख्याओं का योग $n$ के वर्ग के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, पहली 1 विषम संख्या का योग $1^2 = 1$ है, पहली 2 विषम संख्याओं का योग $2^2 = 4$ है, और पहली 3 विषम संख्याओं का योग $3^2 = 9$ है।

Step 3: पहली 8 विषम संख्याओं का योग ज्ञात करें

पैटर्न के अनुसार, पहली 8 विषम संख्याओं का योग $8^2$ के बराबर होगा। $8^2$ की गणना करने पर हमें 64 प्राप्त होता है।

Step 4: पैटर्न क्यों काम करता है, इसकी व्याख्या करें

यह पैटर्न काम करता है क्योंकि विषम संख्याएँ एक अंकगणितीय प्रगति (AP) बनाती हैं। पहली $n$ विषम संख्याओं का योग $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है, जहाँ $a=1$ (पहली विषम संख्या) और $d=2$ (सामान्य अंतर) है। इस सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)2] = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2] = \frac{n}{2}[2n] = n^2$ प्राप्त होता है।

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