चतुर्भुज PAOB में, सभी आंतरिक कोणों का योग 360^ होता है। हमें APB = 80^ , PAO = 90^ , और OBP = 90^ दिया गया है।

चतुर्भुज PAOB में, सभी आंतरिक कोणों का योग 360^ होता है। हमें APB = 80^ , PAO = 90^ , और OBP = 90^ दिया गया है।

त्रिभुज POA और POB में, OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ), OP = OP (उभयनिष्ठ भुजा), और OAP = OBP = 90^ । इसलिए, RHS सर्वांगसमता नियम से, POA POB ।

त्रिभुज POA और POB में, OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ), OP = OP (उभयनिष्ठ भुजा), और OAP = OBP = 90^ । इसलिए, RHS सर्वांगसमता नियम से, POA POB ।

चूंकि POA POB , इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे। अतः, POA = POB । AOB को दो बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा।

चूंकि POA POB , इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे। अतः, POA = POB । AOB को दो बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा।

यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर $80^\circ$ के कोण पर झुकी हों, तो $\angle POA$ बराबर है: (A) $50^\circ$ (B) $60^\circ$ (C) $70^\circ$ (D) $80^\circ$

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Step-by-Step Solution

Step 1: स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण

हम जानते हैं कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। इसलिए, $\angle OAP$ और $\angle OBP$ दोनों $90^\circ$ के बराबर होंगे।

Step 2: चतुर्भुज के कोणों का योग

चतुर्भुज PAOB में, सभी आंतरिक कोणों का योग $360^\circ$ होता है। हमें $\angle APB = 80^\circ$ , $\angle PAO = 90^\circ$ , और $\angle OBP = 90^\circ$ दिया गया है।

Step 3: $\angle AOB$ का मान ज्ञात करना

चतुर्भुज PAOB के कोणों के योग के सूत्र में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम $\angle AOB$ का मान $100^\circ$ प्राप्त करते हैं।

Step 4: त्रिभुज $POA$ और $POB$ की सर्वांगसमता

त्रिभुज $POA$ और $POB$ में, $OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ), $OP = OP$ (उभयनिष्ठ भुजा), और $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$ । इसलिए, RHS सर्वांगसमता नियम से, $\triangle POA \cong \triangle POB$ ।

Step 5: $\angle POA$ का मान ज्ञात करना

चूंकि $\triangle POA \cong \triangle POB$ , इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे। अतः, $\angle POA = \angle POB$ । $\angle AOB$ को दो बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा।