यदि एक बिंदु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80∘80^\circ के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA\angle POA बराबर है: (A) 50∘50^\circ (B) 60∘60^\circ (C) 70∘70^\circ (D) 80∘80^\circ

उत्तर: (A) 50∘50^\circ

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण

हम जानते हैं कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। इसलिए, ∠OAP\angle OAP और ∠OBP\angle OBP दोनों 90∘90^\circ के बराबर होंगे।

चरण 2: चतुर्भुज के कोणों का योग

चतुर्भुज PAOB में, सभी आंतरिक कोणों का योग 360∘360^\circ होता है। हमें ∠APB=80∘\angle APB = 80^\circ , ∠PAO=90∘\angle PAO = 90^\circ , और ∠OBP=90∘\angle OBP = 90^\circ दिया गया है।

चरण 3: ∠AOB\angle AOB का मान ज्ञात करना

चतुर्भुज PAOB के कोणों के योग के सूत्र में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम ∠AOB\angle AOB का मान 100∘100^\circ प्राप्त करते हैं।

चरण 4: त्रिभुज POAPOA और POBPOB की सर्वांगसमता

त्रिभुज POAPOA और POBPOB में, OA=OBOA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ), OP=OPOP = OP (उभयनिष्ठ भुजा), और ∠OAP=∠OBP=90∘\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ । इसलिए, RHS सर्वांगसमता नियम से, △POA≅△POB\triangle POA \cong \triangle POB ।

चरण 5: ∠POA\angle POA का मान ज्ञात करना

चूंकि △POA≅△POB\triangle POA \cong \triangle POB , इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे। अतः, ∠POA=∠POB\angle POA = \angle POB । ∠AOB\angle AOB को दो बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा।

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