Prove that among any 51 integers chosen from {1, 2, ..., 100}, there exist two that are coprime.
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Step-by-Step Solution
Step 1: कबूतर-छेद सिद्धांत का उपयोग
हमें यह सिद्ध करना है कि समुच्चय S={1,2,...,100} से चुने गए किसी भी 51 पूर्णांकों में से कम से कम दो सहअभाज्य होंगे। इस समस्या को हल करने के लिए हम कबूतर-छेद सिद्धांत (Pigeonhole Principle) का उपयोग करेंगे।
Step 2: कबूतर-छेद बनाना
हम 1 से 100 तक के पूर्णांकों को कबूतर-छेद में विभाजित करते हैं। हम 50 जोड़े बनाते हैं: (2,3),(4,5),...,(98,99) । इसके अलावा, हम संख्या 1 को एक अलग कबूतर-छेद के रूप में लेते हैं। इस प्रकार, हमारे पास कुल 50+1=51 कबूतर-छेद हैं।
Step 3: कबूतर-छेद सिद्धांत लागू करना
यदि हम 1 से 100 तक के समुच्चय से 51 संख्याएँ चुनते हैं, और हमारे पास 51 कबूतर-छेद हैं, तो कबूतर-छेद सिद्धांत के अनुसार, कम से कम दो संख्याएँ एक ही कबूतर-छेद से होनी चाहिए।
Step 4: सहअभाज्य संख्याओं का निर्धारण
यदि चुनी गई दो संख्याएँ एक ही कबूतर-छेद से हैं, तो वे या तो {1} से 1 होंगी, या वे एक जोड़े {n,n+1} से होंगी।
1. यदि एक संख्या 1 है, तो 1 किसी भी पूर्णांक के साथ सहअभाज्य होता है।
2. यदि दो संख्याएँ {n,n+1} के रूप में हैं, तो वे लगातार पूर्णांक हैं। लगातार पूर्णांक हमेशा सहअभाज्य होते हैं, अर्थात gcd(n,n+1)=1 ।
इसलिए, किसी भी स्थिति में, चुनी गई दो संख्याएँ सहअभाज्य होंगी।