Prove that
sin(x−y)sin(x+y)=tanx−tanytanx+tany.
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Step-by-Step Solution
Step 1: बायाँ पक्ष लें
हम दिए गए समीकरण के बाएँ पक्ष से शुरू करेंगे और इसे दाएँ पक्ष के बराबर सिद्ध करने का प्रयास करेंगे।
Step 2: योग और अंतर के सूत्र लागू करें
हम sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB और sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB के त्रिकोणमितीय योग और अंतर सूत्रों का उपयोग करते हैं।
Step 3: अंश और हर को cosxcosy से विभाजित करें
दाएँ पक्ष में tanx और tany प्राप्त करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को cosxcosy से विभाजित करते हैं। यह एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय चरण है जो हमें वांछित रूप में ले जाएगा।
Step 4: सरल करें
प्रत्येक पद को सरल करने पर, हम जानते हैं कि cosθsinθ=tanθ । इस प्रकार, cosxcosysinxcosy=cosxsinx=tanx और cosxcosycosxsiny=cosysiny=tany ।
Step 5: निष्कर्ष
चूंकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है, इसलिए दिया गया समीकरण सिद्ध होता है।