Prove that sin⁡(x+y)sin⁡(x−y)=tan⁡x+tan⁡ytan⁡x−tan⁡y.\frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y} .

Answer: सिद्ध किया गया है कि sin⁡(x+y)sin⁡(x−y)=tan⁡x+tan⁡ytan⁡x−tan⁡y\frac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\frac{\tan x+\tan y}{\tan x-\tan y} ।

Step-by-step solution

Step 1: बायाँ पक्ष लें

हम दिए गए समीकरण के बाएँ पक्ष से शुरू करेंगे और इसे दाएँ पक्ष के बराबर सिद्ध करने का प्रयास करेंगे।

Step 2: योग और अंतर के सूत्र लागू करें

हम sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B और sin⁡(A−B)=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B के त्रिकोणमितीय योग और अंतर सूत्रों का उपयोग करते हैं।

Step 3: अंश और हर को cos⁡xcos⁡y\cos x \cos y से विभाजित करें

दाएँ पक्ष में tan⁡x\tan x और tan⁡y\tan y प्राप्त करने के लिए, हम अंश और हर दोनों को cos⁡xcos⁡y\cos x \cos y से विभाजित करते हैं। यह एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय चरण है जो हमें वांछित रूप में ले जाएगा।

Step 4: सरल करें

प्रत्येक पद को सरल करने पर, हम जानते हैं कि sin⁡θcos⁡θ=tan⁡θ\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta । इस प्रकार, sin⁡xcos⁡ycos⁡xcos⁡y=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{\sin x \cos y}{\cos x \cos y} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x और cos⁡xsin⁡ycos⁡xcos⁡y=sin⁡ycos⁡y=tan⁡y\frac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\sin y}{\cos y} = \tan y ।

Step 5: निष्कर्ष

चूंकि बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर है, इसलिए दिया गया समीकरण सिद्ध होता है।

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