त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले बाएँ पक्ष को लेते हैं। हम tan θ = (sin θ)/(cos θ) और cot θ = (cos θ)/(sin θ) ��ा प्रयोग करके सभी पदों को sin θ और cos θ में बदलते हैं।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले बाएँ पक्ष को लेते हैं। हम tan θ = (sin θ)/(cos θ) और cot θ = (cos θ)/(sin θ) ��ा प्रयोग करके सभी पदों को sin θ और cos θ में बदलते हैं।

हर में भिन्नों को ��टाने ��र 1 - (cos θ)/(sin θ) = (sin θ - cos θ)/(sin θ) और 1 - (sin θ)/(cos θ) = (cos θ - sin θ)/(cos θ) ��्र��प्त होता है। अंश और हर को ह�� करके भिन्न को सरल रूप में लिखते हैं।

हर में भिन्नों को ��टाने ��र 1 - (cos θ)/(sin θ) = (sin θ - cos θ)/(sin θ) और 1 - (sin θ)/(cos θ) = (cos θ - sin θ)/(cos θ) ��्र��प्त होता है। अंश और हर को ह�� करके भिन्न को सरल रूप में लिखते हैं।

दूसरे पद के हर में से ऋण ��ि��्न (-) बाहर निकालते हैं ताकि दोनों पदों में (sin θ - cos θ) उभयनिष्ठ बन ��ाए�� सक�� बा�� लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) sin θ cos θ (sin θ - cos θ) ��ेकर ��ंश ��ें sin³ θ - cos³ θ ��्राप्त ��र��े हैं।

दूसरे पद के हर में से ऋण ��ि��्न (-) बाहर निकालते हैं ताकि दोनों पदों में (sin θ - cos θ) उभयनिष्ठ बन ��ाए�� सक�� बा�� लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) sin θ cos θ (sin θ - cos θ) ��ेकर ��ंश ��ें sin³ θ - cos³ θ ��्राप्त ��र��े हैं।

ह�� सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + b² + ab) का प्रयोग करते हैं, जहाँ a = sin θ और b = cos θ है। अंश और हर दोनों में (sin θ - cos θ) मौजूद है, जो ��प�� में क�� जाएगा।

ह�� सर्वसमिका a³ - b³ = (a - b)(a² + b² + ab) का प्रयोग करते हैं, जहाँ a = sin θ और b = cos θ है। अंश और हर दोनों में (sin θ - cos θ) मौजूद है, जो ��प�� में क�� जाएगा।

��ू��कि sin² θ + cos² θ = 1 होता है, इस��िए ��ंश 1 + sin θ cos θ बन जाता है। अब पदों को अलग-अलग विभाजित क��ने पर ��में (1)/(sin θ cos θ) + 1 = 1 + sec θ csc θ प्राप्त होता है, जो कि दायाँ पक्ष (RHS) है।

��ू��कि sin² θ + cos² θ = 1 होता है, इस��िए ��ंश 1 + sin θ cos θ बन जाता है। अब पदों को अलग-अलग विभाजित क��ने पर ��में (1)/(sin θ cos θ) + 1 = 1 + sec θ csc θ प्राप्त होता है, जो कि दायाँ पक्ष (RHS) है।

Prove that: $\frac{\tan \theta }{1-\cot \theta }+\frac{\cot \theta }{1-\tan \theta }=1+\sec \theta \csc \theta$

उत्तर: $\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1-\tan \theta} = 1 + \sec \theta \csc \theta$ (इ��ि सिद्धम्)

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: बाएँ पक्ष (LHS) को $\sin \theta$ और $\cos \theta$ के पदों में व्यक्त करना

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले बाएँ पक्ष को लेते हैं। हम $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ ��ा प्रयोग करके सभी पदों को $\sin \theta$ और $\cos \theta$ में बदलते हैं।

चरण 2: हर (denominator) को सरल करना और ��ि��्��ों को गुणा करना

हर में भिन्नों को ��टाने ��र $1 - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta}$ और $1 - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta}$ ��्र��प्त होता है। अंश और हर को ह�� करके भिन्न को सरल रूप में लिखते हैं।

चरण 3: उभयनिष्ठ हर ��े��र ��िन्नों को घटाना

दूसरे पद के हर में से ऋण ��ि��्न ( $-$ ) बाहर निकालते हैं ताकि दोनों पदों में $(\sin \theta - \cos \theta)$ उभयनिष्ठ बन ��ाए�� सक�� बा�� लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) $\sin \theta \cos \theta (\sin \theta - \cos \theta)$ ��ेकर ��ंश ��ें $\sin^3 \theta - \cos^3 \theta$ ��्राप्त ��र��े हैं।

चरण 4: बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 - b^3$ का प्रयोग करना

ह�� सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + b^2 + ab)$ का प्रयोग करते हैं, जहाँ $a = \sin \theta$ और $b = \cos \theta$ है। अंश और हर दोनों में $(\sin \theta - \cos \theta)$ मौजूद है, जो ��प�� में क�� जाएगा।

चरण 5: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका लगाकर दाएँ पक्ष (RHS) को प्राप्त कर��ा

��ू��कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है, इस��िए ��ंश $1 + \sin \theta \cos \theta$ बन जाता है। अब पदों को अलग-अलग विभाजित क��ने पर ��में $\frac{1}{\sin \theta \cos \theta} + 1 = 1 + \sec \theta \csc \theta$ प्राप्त होता है, जो कि दायाँ पक्ष (RHS) है।

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Prove that: tan⁡θ1−cot⁡θ+cot⁡θ1−tan⁡θ=1+sec⁡θcsc⁡θ\frac{\tan \theta }{1-\cot \theta }+\frac{\cot \theta }{1-\tan \theta }=1+\sec \theta \csc \theta1−cotθtanθ​+1−tanθcotθ​=1+secθcscθ