इकाई वृत्त पर |dz| का समाकल वृत्त की परिधि है, जो 2π r के बराबर है। चूंकि त्रिज्या r=1 है, इसलिए समाकल 2π के बराबर है।

इकाई वृत्त पर |dz| का समाकल वृत्त की परिधि है, जो 2π r के बराबर है। चूंकि त्रिज्या r=1 है, इसलिए समाकल 2π के बराबर है।

अंतिम चरण में, हम 2π को रद्द करते हैं और हमें वांछित असमानता प्राप्त होती है।

Prove that if f(z) is analytic in |z| < 1, continuous on |z| ≤ 1, and |f(z)| ≤ M on |z| = 1, then |f^(n)(0)| ≤ n!M for all n ≥ 0.

Answer: $|f^{(n)}(0)| \le n!M$

Step-by-step solution

Step 1: कॉची के समाकल सूत्र का उपयोग करें

हम कॉची के समाकल सूत्र का उपयोग करेंगे जो एक विश्लेषणात्मक फलन के $n$ -वें अवकलज को एक बंद समोच्च के साथ समाकल के रूप में व्यक्त करता है। यहाँ, समोच्च इकाई वृत्त $|z|=1$ है।

Step 2: मापांक लें

अब हम $f^{(n)}(0)$ के मापांक को ज्ञात करने के लिए सूत्र के दोनों पक्षों का मापांक लेते हैं।

Step 3: समाकल के लिए मापांक असमानता लागू करें

हम समाकल के लिए मापांक असमानता का उपयोग करते हैं, जो कहता है कि एक समाकल का मापांक समाकल के मापांक के समाकल से कम या उसके बराबर होता है। साथ ही, हम $i$ के मापांक को 1 के रूप में लेते हैं।

Step 4: दी गई शर्तों को लागू करें

समस्या में दी गई शर्तों के अनुसार, $|f(z)| \le M$ जब $|z|=1$ हो। साथ ही, इकाई वृत्त पर $|z|=1$ होता है। हम इन मानों को असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 5: समाकल का मूल्यांकन करें

इकाई वृत्त पर $|dz|$ का समाकल वृत्त की परिधि है, जो $2\pi r$ के बराबर है। चूंकि त्रिज्या $r=1$ है, इसलिए समाकल $2\pi$ के बराबर है।

Step 6: परिणाम को सरल करें

अंतिम चरण में, हम $2\pi$ को रद्द करते हैं और हमें वांछित असमानता प्राप्त होती है।

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