Prove that in any group of 6 people, there are either 3 mutual friends or 3 mutual strangers.
Get the complete, step-by-step math solution for: "Prove that in any group of 6 people, there are either 3 mutual friends or 3 mutual strangers.". Powered by SolveForX AI math tutor.
Step-by-Step Solution
Step 1: समस्या को समझना और रामसे संख्या का परिचय
यह समस्या रामसे सिद्धांत से संबंधित है, विशेष रूप से रामसे संख्या R(3,3) से। रामसे संख्या R(m,n) वह न्यूनतम संख्या N है जिसके लिए N व्यक्तियों के किसी भी समूह में, या तो m परस्पर मित्र होते हैं या n परस्पर अजनबी होते हैं। इस समस्या में, हमें यह सिद्ध करना है कि R(3,3)≤6 ।
Step 2: एक व्यक्ति का चयन करना और उसके संबंधों का विश्लेषण करना
मान लीजिए कि 6 व्यक्तियों के समूह में से एक व्यक्ति A है। शेष 5 व्यक्तियों के साथ A के संबंध या तो 'मित्र' या 'अजनबी' होंगे। पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार, इन 5 संबंधों में से कम से कम 3 संबंध एक ही प्रकार के होने चाहिए (या तो 3 मित्र या 3 अजनबी)।
Step 3: स्थिति 1: A के 3 मित्र हैं
मान लीजिए A के 3 मित्र हैं: B, C और D। अब हमें B, C और D के बीच के संबंधों पर विचार करना होगा।
Step 4: स्थिति 1.1: B, C, D में से कोई भी दो मित्र हैं
यदि B, C, D में से कोई भी दो मित्र हैं (उदाहरण के लिए, B और C मित्र हैं), तो A, B और C परस्पर मित्र होंगे। इस प्रकार, हमें 3 परस्पर मित्र मिल जाते हैं।
Step 5: स्थिति 1.2: B, C, D में से कोई भी दो मित्र नहीं हैं
यदि B, C, D में से कोई भी दो मित्र नहीं हैं, तो इसका मतलब है कि B, C और D परस्पर अजनबी हैं। इस प्रकार, हमें 3 परस्पर अजनबी मिल जाते हैं।
Step 6: स्थिति 2: A के 3 अजनबी हैं
मान लीजिए A के 3 अजनबी हैं: E, F और G। अब हमें E, F और G के बीच के संबंधों पर विचार करना होगा। यह स्थिति स्थिति 1 के समान है, बस 'मित्र' और 'अजनबी' की भूमिकाएँ बदल जाती हैं।
Step 7: स्थिति 2.1 और 2.2: E, F, G के बीच संबंध
यदि E, F, G में से कोई भी दो मित्र हैं (उदाहरण के लिए, E और F मित्र हैं), तो E, F और G में से कोई भी दो मित्र हैं, तो हमें 3 परस्पर मित्र मिल जाते हैं। यदि E, F, G में से कोई भी दो मित्र नहीं हैं, तो E, F और G परस्पर अजनबी होंगे, और हमें 3 परस्पर अजनबी मिल जाते हैं।