Prove that in any group of 6 people, there are either 3 mutual friends or 3 mutual strangers.
Answer: उपरोक्त विश्लेषण से, यह सिद्ध होता है कि 6 व्यक्तियों के किसी भी समूह में, या तो 3 परस्पर मित्र होते हैं या 3 परस्पर अजनबी होते हैं।
Step-by-step solution
Step 1: समस्या को समझना और रामसे संख्या का परिचय
यह समस्या रामसे सिद्धांत से संबंधित है, विशेष रूप से रामसे संख्या से। रामसे संख्या वह न्यूनतम संख्या है जिसके लिए व्यक्तियों के किसी भी समूह में, या तो परस्पर मित्र होते हैं या परस्पर अजनबी होते हैं। इस समस्या में, हमें यह सिद्ध करना है कि ।
Step 2: एक व्यक्ति का चयन करना और उसके संबंधों का विश्लेषण करना
मान लीजिए कि 6 व्यक्तियों के समूह में से एक व्यक्ति A है। शेष 5 व्यक्तियों के साथ A के संबंध या तो 'मित्र' या 'अजनबी' होंगे। पिजनहोल सिद्धांत के अनुसार, इन 5 संबंधों में से कम से कम 3 संबंध एक ही प्रकार के होने चाहिए (या तो 3 मित्र या 3 अजनबी)।
Step 3: स्थिति 1: A के 3 मित्र हैं
मान लीजिए A के 3 मित्र हैं: B, C और D। अब हमें B, C और D के बीच के संबंधों पर विचार करना होगा।
Step 4: स्थिति 1.1: B, C, D में से कोई भी दो मित्र हैं
यदि B, C, D में से कोई भी दो मित्र हैं (उदाहरण के लिए, B और C मित्र हैं), तो A, B और C परस्पर मित्र होंगे। इस प्रकार, हमें 3 परस्पर मित्र मिल जाते हैं।
Step 5: स्थिति 1.2: B, C, D में से कोई भी दो मित्र नहीं हैं
यदि B, C, D में से कोई भी दो मित्र नहीं हैं, तो इसका मतलब है कि B, C और D परस्पर अजनबी हैं। इस प्रकार, हमें 3 परस्पर अजनबी मिल जाते हैं।
Step 6: स्थिति 2: A के 3 अजनबी हैं
मान लीजिए A के 3 अजनबी हैं: E, F और G। अब हमें E, F और G के बीच के संबंधों पर विचार करना होगा। यह स्थिति स्थिति 1 के समान है, बस 'मित्र' और 'अजनबी' की भूमिकाएँ बदल जाती हैं।
Step 7: स्थिति 2.1 और 2.2: E, F, G के बीच संबंध
यदि E, F, G में से कोई भी दो मित्र हैं (उदाहरण के लिए, E और F मित्र हैं), तो E, F और G में से कोई भी दो मित्र हैं, तो हमें 3 परस्पर मित्र मिल जाते हैं। यदि E, F, G में से कोई भी दो मित्र नहीं हैं, तो E, F और G परस्पर अजनबी होंगे, और हमें 3 परस्पर अजनबी मिल जाते हैं।