यदि x_1 और x_2 दो अलग-अलग असंततता बिंदु हैं, तो f(x_1^+) ≤ f(x_2^-) होगा। इससे यह सुनिश्चित होता है कि q_x_1 q_x_2। इस प्रकार, हम असंततता बिंदुओं के समुच्चय D से परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में एक एकैकी प्रतिचित्रण (one-to-one mapping) बना सकते हैं।

यदि x_1 और x_2 दो अलग-अलग असंततता बिंदु हैं, तो f(x_1^+) ≤ f(x_2^-) होगा। इससे यह सुनिश्चित होता है कि q_x_1 q_x_2। इस प्रकार, हम असंततता बिंदुओं के समुच्चय D से परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में एक एकैकी प्रतिचित्रण (one-to-one mapping) बना सकते हैं।

चूंकि परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q गणनीय है, और असंततता बिंदुओं के समुच्चय D को Q के एक उपसमुच्चय में एकैकी रूप से प्रतिचित्रित किया जा सकता है, इसलिए D भी अधिकतम गणनीय होना चाहिए।

चूंकि परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q गणनीय है, और असंततता बिंदुओं के समुच्चय D को Q के एक उपसमुच्चय में एकैकी रूप से प्रतिचित्रित किया जा सकता है, इसलिए D भी अधिकतम गणनीय होना चाहिए।

Prove that the set of discontinuities of any monotonic function is at most countable.

Answer: सिद्ध किया गया कि किसी भी एकदिष्ट फलन के असंततता बिंदुओं का समुच्चय अधिकतम गणनीय होता है।

Step-by-step solution

Step 1: एकदिष्ट फलन की परिभाषा

एकदिष्ट फलन वह फलन होता है जो या तो निरंतर बढ़ता है या निरंतर घटता है। मान लीजिए $f$ एकदिष्ट वर्धमान फलन है। यदि $x_1 < x_2$ है, तो $f(x_1) \le f(x_2)$ होगा।

Step 2: असंततता बिंदु पर छलांग

एकदिष्ट फलन के लिए, असंततता बिंदु पर हमेशा एक 'छलांग' होती है। इसका मतलब है कि बाईं सीमा $f(x^-)$ और दाईं सीमा $f(x^+)$ मौजूद होती हैं, लेकिन $f(x^-) < f(x^+)$ होता है।

Step 3: असंततता बिंदुओं का समुच्चय

असंततता बिंदुओं का समुच्चय $D$ उन सभी बिंदुओं $x$ का संग्रह है जहाँ फलन में छलांग होती है। प्रत्येक असंततता बिंदु $x$ पर, हम एक परिमेय संख्या $q_x$ चुन सकते हैं जैसे कि $f(x^-) < q_x < f(x^+)$ ।

Step 4: एकैकी प्रतिचित्रण

यदि $x_1$ और $x_2$ दो अलग-अलग असंततता बिंदु हैं, तो $f(x_1^+) \le f(x_2^-)$ होगा। इससे यह सुनिश्चित होता है कि $q_{x_1} \ne q_{x_2}$ । इस प्रकार, हम असंततता बिंदुओं के समुच्चय $D$ से परिमेय संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{Q}$ में एक एकैकी प्रतिचित्रण (one-to-one mapping) बना सकते हैं।

Step 5: गणनीयता का निष्कर्ष

चूंकि परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb{Q}$ गणनीय है, और असंततता बिंदुओं के समुच्चय $D$ को $\mathbb{Q}$ के एक उपसमुच्चय में एकैकी रूप से प्रतिचित्रित किया जा सकता है, इसलिए $D$ भी अधिकतम गणनीय होना चाहिए।

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