Prove that the set of discontinuities of any monotonic function is at most countable.
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Step-by-Step Solution
Step 1: एकदिष्ट फलन की परिभाषा
एकदिष्ट फलन वह फलन होता है जो या तो निरंतर बढ़ता है या निरंतर घटता है। मान लीजिए f एकदिष्ट वर्धमान फलन है। यदि x1<x2 है, तो f(x1)≤f(x2) होगा।
Step 2: असंततता बिंदु पर छलांग
एकदिष्ट फलन के लिए, असंततता बिंदु पर हमेशा एक 'छलांग' होती है। इसका मतलब है कि बाईं सीमा f(x−) और दाईं सीमा f(x+) मौजूद होती हैं, लेकिन f(x−)<f(x+) होता है।
Step 3: असंततता बिंदुओं का समुच्चय
असंततता बिंदुओं का समुच्चय D उन सभी बिंदुओं x का संग्रह है जहाँ फलन में छलांग होती है। प्रत्येक असंततता बिंदु x पर, हम एक परिमेय संख्या qx चुन सकते हैं जैसे कि f(x−)<qx<f(x+) ।
Step 4: एकैकी प्रतिचित्रण
यदि x1 और x2 दो अलग-अलग असंततता बिंदु हैं, तो f(x1+)≤f(x2−) होगा। इससे यह सुनिश्चित होता है कि $q_{x_1}
e q_{x_2}।इसप्रकार,हमअसंततताबिंदुओंकेसमुच्चयDसेपरिमेयसंख्याओंकेसमुच्चय\mathbb{Q}$ में एक एकैकी प्रतिचित्रण (one-to-one mapping) बना सकते हैं।
Step 5: गणनीयता का निष्कर्ष
चूंकि परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q गणनीय है, और असंततता बिंदुओं के समुच्चय D को Q के एक उपसमुच्चय में एकैकी रूप से प्रतिचित्रित किया जा सकता है, इसलिए D भी अधिकतम गणनीय होना चाहिए।