हमने दिखाया कि x (1)/(n), इसका मतलब है x + (1)/(n) < y। इन दोनों को मिलाकर, हमें x < (m)/(n) < y मिलता है। चूंकि (m)/(n) एक परिमेय संख्या है (क्योंकि m पूर्णांक है और n प्राकृतिक संख्या है), हमने सिद्ध कर दिया कि Q R में सघन है।

हमने दिखाया कि x (1)/(n), इसका मतलब है x + (1)/(n) < y। इन दोनों को मिलाकर, हमें x < (m)/(n) < y मिलता है। चूंकि (m)/(n) एक परिमेय संख्या है (क्योंकि m पूर्णांक है और n प्राकृतिक संख्या है), हमने सिद्ध कर दिया कि Q R में सघन है।

परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q गणनीय है, जिसका अर्थ है कि हम इसे q_1, q_2, q_3, के रूप में सूचीबद्ध कर सकते हैं। प्रत्येक परिमेय संख्या q_i को एक अंतराल (q_i - ()/(2^(i+1)), q_i + ()/(2^(i+1))) से ढकें, जिसकी लंबाई ()/(2^i) है।

परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q गणनीय है, जिसका अर्थ है कि हम इसे q_1, q_2, q_3, के रूप में सूचीबद्ध कर सकते हैं। प्रत्येक परिमेय संख्या q_i को एक अंतराल (q_i - ()/(2^(i+1)), q_i + ()/(2^(i+1))) से ढकें, जिसकी लंबाई ()/(2^i) है।

इन अंतरालों के संघ का माप व्यक्तिगत अंतरालों के मापों के योग से कम या उसके बराबर होगा। यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका योग है। चूंकि कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती है, और हम इसे मनमाने ढंग से छोटा बना सकते हैं, इसका मतलब है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय का माप शून्य है।

इन अंतरालों के संघ का माप व्यक्तिगत अंतरालों के मापों के योग से कम या उसके बराबर होगा। यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका योग है। चूंकि कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती है, और हम इसे मनमाने ढंग से छोटा बना सकते हैं, इसका मतलब है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय का माप शून्य है।

Prove that the set of rational numbers ℚ is dense in ℝ but has measure zero.

Answer: परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb{Q}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ में सघन है और इसका माप शून्य है।

Step-by-step solution

Step 1: परिमेय संख्याओं का $\mathbb{R}$ में सघन होना सिद्ध करना

यह सिद्ध करने के लिए कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb{Q}$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ में सघन है, हमें यह दिखाना होगा कि किन्हीं भी दो भिन्न वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के बीच कम से कम एक परिमेय संख्या $q$ मौजूद होती है। हम आर्किमिडीज़ सिद्धांत का उपयोग करके इसे सिद्ध कर सकते हैं।

Step 2: आर्किमिडीज़ सिद्धांत का अनुप्रयोग

आर्किमिडीज़ सिद्धांत के अनुसार, किन्हीं भी दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, एक प्राकृतिक संख्या $n$ मौजूद होती है जैसे कि $na > b$ । यहाँ, हम $a = y-x$ और $b = 1$ लेते हैं। तो, एक प्राकृतिक संख्या $n$ मौजूद है जैसे कि $n(y-x) > 1$ , जिसका अर्थ है $y-x > \frac{1}{n}$ ।

Step 3: परिमेय संख्या $q$ का निर्माण

अब, हम एक पूर्णांक $m$ चुनते हैं जैसे कि $m-1 \le nx < m$ । यह पूर्णांक $m$ हमेशा मौजूद होता है क्योंकि $nx$ एक वास्तविक संख्या है और पूर्णांकों के बीच स्थित है। इस असमानता को $n$ से विभाजित करने पर हमें $\frac{m-1}{n} \le x < \frac{m}{n}$ मिलता है।

Step 4: परिमेय संख्या $q$ की पहचान

हमने दिखाया कि $x < \frac{m}{n}$ । अब हमें यह दिखाना है कि $\frac{m}{n} < y$ । हम जानते हैं कि $m-1 \le nx$ , इसलिए $m \le nx+1$ । इसे $n$ से विभाजित करने पर $\frac{m}{n} \le x + \frac{1}{n}$ । चूंकि $y-x > \frac{1}{n}$ , इसका मतलब है $x + \frac{1}{n} < y$ । इन दोनों को मिलाकर, हमें $x < \frac{m}{n} < y$ मिलता है। चूंकि $\frac{m}{n}$ एक परिमेय संख्या है (क्योंकि $m$ पूर्णांक है और $n$ प्राकृतिक संख्या है), हमने सिद्ध कर दिया कि $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$ में सघन है।

Step 5: परिमेय संख्याओं के समुच्चय का माप शून्य होना सिद्ध करना

परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb{Q}$ गणनीय है, जिसका अर्थ है कि हम इसे $q_1, q_2, q_3, \dots$ के रूप में सूचीबद्ध कर सकते हैं। प्रत्येक परिमेय संख्या $q_i$ को एक अंतराल $(q_i - \frac{\epsilon}{2^{i+1}}, q_i + \frac{\epsilon}{2^{i+1}})$ से ढकें, जिसकी लंबाई $\frac{\epsilon}{2^i}$ है।

Step 6: माप की गणना

इन अंतरालों के संघ का माप व्यक्तिगत अंतरालों के मापों के योग से कम या उसके बराबर होगा। यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका योग $\epsilon$ है। चूंकि $\epsilon$ कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती है, और हम इसे मनमाने ढंग से छोटा बना सकते हैं, इसका मतलब है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय का माप शून्य है।

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