Prove that the set of rational numbers ℚ is dense in ℝ but has measure zero.
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Step-by-Step Solution
Step 1: परिमेय संख्याओं का R में सघन होना सिद्ध करना
यह सिद्ध करने के लिए कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में सघन है, हमें यह दिखाना होगा कि किन्हीं भी दो भिन्न वास्तविक संख्याओं x और y के बीच कम से कम एक परिमेय संख्या q मौजूद होती है। हम आर्किमिडीज़ सिद्धांत का उपयोग करके इसे सिद्ध कर सकते हैं।
Step 2: आर्किमिडीज़ सिद्धांत का अनुप्रयोग
आर्किमिडीज़ सिद्धांत के अनुसार, किन्हीं भी दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं a और b के लिए, एक प्राकृतिक संख्या n मौजूद होती है जैसे कि na > b । यहाँ, हम a=y−x और b=1 लेते हैं। तो, एक प्राकृतिक संख्या n मौजूद है जैसे कि n(y-x) > 1, जिसका अर्थ है y−x>n1 ।
Step 3: परिमेय संख्या q का निर्माण
अब, हम एक पूर्णांक m चुनते हैं जैसे कि m−1≤nx<m । यह पूर्णांक m हमेशा मौजूद होता है क्योंकि nx एक वास्तविक संख्या है और पूर्णांकों के बीच स्थित है। इस असमानता को n से विभाजित करने पर हमें nm−1≤x<nm मिलता है।
Step 4: परिमेय संख्या q की पहचान
हमने दिखाया कि x<nm । अब हमें यह दिखाना है कि nm<y । हम जानते हैं कि m−1≤nx, इसलिए m≤nx+1 । इसे n से विभाजित करने पर nm≤x+n1 । चूंकि y−x>n1, इसका मतलब है x+n1<y । इन दोनों को मिलाकर, हमें x<nm<y मिलता है। चूंकि nm एक परिमेय संख्या है (क्योंकि m पूर्णांक है और n प्राकृतिक संख्या है), हमने सिद्ध कर दिया कि Q R में सघन है।
Step 5: परिमेय संख्याओं के समुच्चय का माप शून्य होना सिद्ध करना
परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q गणनीय है, जिसका अर्थ है कि हम इसे q1,q2,q3,… के रूप में सूचीबद्ध कर सकते हैं। प्रत्येक परिमेय संख्या qi को एक अंतराल (qi−2i+1ϵ,qi+2i+1ϵ) से ढकें, जिसकी लंबाई 2iϵ है।
Step 6: माप की गणना
इन अंतरालों के संघ का माप व्यक्तिगत अंतरालों के मापों के योग से कम या उसके बराबर होगा। यह एक ज्यामितीय श्रृंखला है जिसका योग ϵ है। चूंकि ϵ कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती है, और हम इसे मनमाने ढंग से छोटा बना सकते हैं, इसका मतलब है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय का माप शून्य है।