Prove Wilson's theorem: (p-1)! ≡ -1 (mod p) for prime p.
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Step-by-Step Solution
Step 1: परिचय और आधार स्थिति
विल्सन का प्रमेय कहता है कि यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो (p−1)!+1 संख्या p से विभाज्य है। हम इस प्रमेय को सिद्ध करेंगे। सबसे पहले, हम p=2 के लिए आधार स्थिति की जाँच करते हैं।
Step 2: p=2 के लिए जाँच
जब p=2 होता है, तो (p−1)!=(2−1)!=1!=1 होता है। साथ ही, −1(mod2) का अर्थ है −1 को 2 से विभाजित करने पर शेषफल, जो 1 होता है। इसलिए, 1≡−1(mod2) सत्य है।
Step 3: p > 2 के लिए विचार
अब हम p>2 के लिए विचार करते हैं। इस स्थिति में, p एक विषम अभाज्य संख्या है। हम जानते हैं कि a2≡1(modp) का अर्थ है a2−1≡0(modp), जिसका मतलब है (a-1)(a+1) p से विभाज्य है। चूंकि p एक अभाज्य संख्या है, इसलिए p या तो (a−1) को विभाजित करता है या (a+1) को। इससे a≡1(modp) या a≡p−1(modp) प्राप्त होता है।
Step 4: गुणनफल का निर्माण
हम (p−1)! के गुणनफल पर विचार करते हैं। p एक अभाज्य संख्या होने के कारण, 1,2,…,p−1 में से प्रत्येक पूर्णांक p के सापेक्ष सह-अभाज्य है। इसका मतलब है कि प्रत्येक पूर्णांक a के लिए 1≤a≤p−1, एक अद्वितीय पूर्णांक a′ मौजूद है जैसे कि a⋅a′≡1(modp) और 1≤a′≤p−1 ।
Step 5: प्रतिलोम युग्मों का उपयोग
केवल 1 और p−1 ही ऐसे पूर्णांक हैं जो अपने स्वयं के प्रतिलोम हैं मॉड्यूलो p । अन्य सभी पूर्णांक a के लिए, a≡a′(modp) । इसलिए, गुणनफल (p−1)! में, हम 1 और p−1 को छोड़कर सभी पदों को युग्मों में समूहित कर सकते हैं, जहाँ प्रत्येक युग्म का गुणनफल 1(modp) के सर्वांगसम होता है।
Step 6: अंतिम परिणाम
चूंकि सभी युग्मों का गुणनफल 1(modp) के सर्वांगसम होता है, और 1 तथा p−1 अपने स्वयं के प्रतिलोम हैं, तो (p−1)! का गुणनफल 1⋅(p−1)(modp) के सर्वांगसम होगा। चूंकि p−1≡−1(modp), हमें (p−1)!≡−1(modp) प्राप्त होता है।