जब p=2 होता है, तो (p-1)! = (2-1)! = 1! = 1 होता है। साथ ही, -1 2 का अर्थ है -1 को 2 से विभाजित करने पर शेषफल, जो 1 होता है। इसलिए, 1 -1 2 सत्य है।

जब p=2 होता है, तो (p-1)! = (2-1)! = 1! = 1 होता है। साथ ही, -1 2 का अर्थ है -1 को 2 से विभाजित करने पर शेषफल, जो 1 होता है। इसलिए, 1 -1 2 सत्य है।

अब हम p > 2 के लिए विचार करते हैं। इस स्थिति में, p एक विषम अभाज्य संख्या है। हम जानते हैं कि a² 1 p का अर्थ है a² - 1 0 p, जिसका मतलब है (a-1)(a+1) p से विभाज्य है। चूंकि p एक अभाज्य संख्या है, इसलिए p या तो (a-1) को विभाजित करता है या (a+1) को। इससे a 1 p या a p-1 p प्राप्त होता है।

अब हम p > 2 के लिए विचार करते हैं। इस स्थिति में, p एक विषम अभाज्य संख्या है। हम जानते हैं कि a² 1 p का अर्थ है a² - 1 0 p, जिसका मतलब है (a-1)(a+1) p से विभाज्य है। चूंकि p एक अभाज्य संख्या है, इसलिए p या तो (a-1) को विभाजित करता है या (a+1) को। इससे a 1 p या a p-1 p प्राप्त होता है।

केवल 1 और p-1 ही ऐसे पूर्णांक हैं जो अपने स्वयं के प्रतिलोम हैं मॉड्यूलो p। अन्य सभी पूर्णांक a के लिए, a a' p। इसलिए, गुणनफल (p-1)! में, हम 1 और p-1 को छोड़कर सभी पदों को युग्मों में समूहित कर सकते हैं, जहाँ प्रत्येक युग्म का गुणनफल 1 p के सर्वांगसम होता है।

केवल 1 और p-1 ही ऐसे पूर्णांक हैं जो अपने स्वयं के प्रतिलोम हैं मॉड्यूलो p। अन्य सभी पूर्णांक a के लिए, a a' p। इसलिए, गुणनफल (p-1)! में, हम 1 और p-1 को छोड़कर सभी पदों को युग्मों में समूहित कर सकते हैं, जहाँ प्रत्येक युग्म का गुणनफल 1 p के सर्वांगसम होता है।

चूंकि सभी युग्मों का गुणनफल 1 p के सर्वांगसम होता है, और 1 तथा p-1 अपने स्वयं के प्रतिलोम हैं, तो (p-1)! का गुणनफल 1 · (p-1) p के सर्वांगसम होगा। चूंकि p-1 -1 p, हमें (p-1)! -1 p प्राप्त होता है।

चूंकि सभी युग्मों का गुणनफल 1 p के सर्वांगसम होता है, और 1 तथा p-1 अपने स्वयं के प्रतिलोम हैं, तो (p-1)! का गुणनफल 1 · (p-1) p के सर्वांगसम होगा। चूंकि p-1 -1 p, हमें (p-1)! -1 p प्राप्त होता है।

Prove Wilson's theorem: $(p-1)!$ ≡ -1 (mod p) for prime p.

Answer: $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$

Step-by-step solution

Step 1: परिचय और आधार स्थिति

विल्सन का प्रमेय कहता है कि यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है, तो $(p-1)! + 1$ संख्या $p$ से विभाज्य है। हम इस प्रमेय को सिद्ध करेंगे। सबसे पहले, हम $p=2$ के लिए आधार स्थिति की जाँच करते हैं।

Step 2: $p=2$ के लिए जाँच

जब $p=2$ होता है, तो $(p-1)! = (2-1)! = 1! = 1$ होता है। साथ ही, $-1 \pmod 2$ का अर्थ है $-1$ को $2$ से विभाजित करने पर शेषफल, जो $1$ होता है। इसलिए, $1 \equiv -1 \pmod 2$ सत्य है।

Step 3: p > 2 के लिए विचार

अब हम $p > 2$ के लिए विचार करते हैं। इस स्थिति में, $p$ एक विषम अभाज्य संख्या है। हम जानते हैं कि $a^2 \equiv 1 \pmod p$ का अर्थ है $a^2 - 1 \equiv 0 \pmod p$ , जिसका मतलब है $(a-1)(a+1)$ $p$ से विभाज्य है। चूंकि $p$ एक अभाज्य संख्या है, इसलिए $p$ या तो $(a-1)$ को विभाजित करता है या $(a+1)$ को। इससे $a \equiv 1 \pmod p$ या $a \equiv p-1 \pmod p$ प्राप्त होता है।

Step 4: गुणनफल का निर्माण

हम $(p-1)!$ के गुणनफल पर विचार करते हैं। $p$ एक अभाज्य संख्या होने के कारण, $1, 2, \ldots, p-1$ में से प्रत्येक पूर्णांक $p$ के सापेक्ष सह-अभाज्य है। इसका मतलब है कि प्रत्येक पूर्णांक $a$ के लिए $1 \le a \le p-1$ , एक अद्वितीय पूर्णांक $a'$ मौजूद है जैसे कि $a \cdot a' \equiv 1 \pmod p$ और $1 \le a' \le p-1$ ।

Step 5: प्रतिलोम युग्मों का उपयोग

केवल $1$ और $p-1$ ही ऐसे पूर्णांक हैं जो अपने स्वयं के प्रतिलोम हैं मॉड्यूलो $p$ । अन्य सभी पूर्णांक $a$ के लिए, $a \not\equiv a' \pmod p$ । इसलिए, गुणनफल $(p-1)!$ में, हम $1$ और $p-1$ को छोड़कर सभी पदों को युग्मों में समूहित कर सकते हैं, जहाँ प्रत्येक युग्म का गुणनफल $1 \pmod p$ के सर्वांगसम होता है।

Step 6: अंतिम परिणाम

चूंकि सभी युग्मों का गुणनफल $1 \pmod p$ के सर्वांगसम होता है, और $1$ तथा $p-1$ अपने स्वयं के प्रतिलोम हैं, तो $(p-1)!$ का गुणनफल $1 \cdot (p-1) \pmod p$ के सर्वांगसम होगा। चूंकि $p-1 \equiv -1 \pmod p$ , हमें $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$ प्राप्त होता है।

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Prove Wilson's theorem: (p−1)!(p-1)!(p−1)! ≡ -1 (mod p) for prime p.