Show that tan⁡3xtan⁡2xtan⁡x=tan⁡3x−tan⁡2x−tan⁡x\tan 3 x \tan 2 x \tan x=\tan 3 x-\tan 2 x-\tan x

Answer: सिद्ध किया गया कि tan⁡3xtan⁡2xtan⁡x=tan⁡3x−tan⁡2x−tan⁡x\tan 3 x \tan 2 x \tan x=\tan 3 x-\tan 2 x-\tan x

Step-by-step solution

Step 1: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करें

हम जानते हैं कि tan⁡(A+B)\tan(A+B) का सूत्र tan⁡A+tan⁡B1−tan⁡Atan⁡B\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} होता है। इस सर्वसमिका का उपयोग करके हम दिए गए समीकरण को सिद्ध करेंगे।

Step 2: कोणों को परिभाषित करें

हम कोण 3x3x को 2x2x और xx के योग के रूप में लिख सकते हैं। यह हमें tan⁡(A+B)\tan(A+B) सर्वसमिका का उपयोग करने में मदद करेगा, जहाँ A=2xA = 2x और B=xB = x होगा।

Step 3: सर्वसमिका लागू करें

अब, हम tan⁡(2x+x)\tan(2x+x) पर tan⁡(A+B)\tan(A+B) सर्वसमिका लागू करते हैं। इससे हमें tan⁡3x=tan⁡2x+tan⁡x1−tan⁡2xtan⁡x\tan 3x = \frac{\tan 2x + \tan x}{1 - \tan 2x \tan x} मिलता है।

Step 4: पुनर्व्यवस्थित करें

समीकरण के दोनों पक्षों को 1−tan⁡2xtan⁡x1 - \tan 2x \tan x से गुणा करने पर, हमें tan⁡3x(1−tan⁡2xtan⁡x)=tan⁡2x+tan⁡x\tan 3x (1 - \tan 2x \tan x) = \tan 2x + \tan x प्राप्त होता है।

Step 5: विस्तार करें और सरल करें

बाएं पक्ष को विस्तारित करने पर, हमें tan⁡3x−tan⁡3xtan⁡2xtan⁡x=tan⁡2x+tan⁡x\tan 3x - \tan 3x \tan 2x \tan x = \tan 2x + \tan x मिलता है।

Step 6: अंतिम समीकरण प्राप्त करें

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम सिद्ध किए जाने वाले समीकरण पर पहुँचते हैं। tan⁡3xtan⁡2xtan⁡x\tan 3x \tan 2x \tan x को दाएं पक्ष में और tan⁡2x+tan⁡x\tan 2x + \tan x को बाएं पक्ष में ले जाने पर, हमें वांछित परिणाम मिलता है।

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