Show that
tan3xtan2xtanx=tan3x−tan2x−tanx
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Step-by-Step Solution
Step 1: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करें
हम जानते हैं कि tan(A+B) का सूत्र 1−tanAtanBtanA+tanB होता है। इस सर्वसमिका का उपयोग करके हम दिए गए समीकरण को सिद्ध करेंगे।
Step 2: कोणों को परिभाषित करें
हम कोण 3x को 2x और x के योग के रूप में लिख सकते हैं। यह हमें tan(A+B) सर्वसमिका का उपयोग करने में मदद करेगा, जहाँ A=2x और B=x होगा।
Step 3: सर्वसमिका लागू करें
अब, हम tan(2x+x) पर tan(A+B) सर्वसमिका लागू करते हैं। इससे हमें tan3x=1−tan2xtanxtan2x+tanx मिलता है।
Step 4: पुनर्व्यवस्थित करें
समीकरण के दोनों पक्षों को 1−tan2xtanx से गुणा करने पर, हमें tan3x(1−tan2xtanx)=tan2x+tanx प्राप्त होता है।
Step 5: विस्तार करें और सरल करें
बाएं पक्ष को विस्तारित करने पर, हमें tan3x−tan3xtan2xtanx=tan2x+tanx मिलता है।
Step 6: अंतिम समीकरण प्राप्त करें
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हम सिद्ध किए जाने वाले समीकरण पर पहुँचते हैं। tan3xtan2xtanx को दाएं पक्ष में और tan2x+tanx को बाएं पक्ष में ले जाने पर, हमें वांछित परिणाम मिलता है।