Show that the points A (1, 2, 3), B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) and D(4,7,6)\mathrm{D}(4{,}7{,}6) are the vertices of a parallelogram ABCD\mathrm{ABCD}, but it is not a rectangle.

Answer: बिंदु A (1, 2, 3), B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) और D (4, 7, 6) एक समांतर चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं, लेकिन यह एक आयत नहीं है।

Step-by-step solution

Step 1: भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें

एक चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज सिद्ध करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि उसकी सम्मुख भुजाओं की लंबाई बराबर है। हम दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात करेंगे: (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}

Step 2: भुजाओं की लंबाई की गणना

गणना करने पर, हमें AB=6AB = 6, BC=43BC = \sqrt{43}, CD=6CD = 6, और DA=43DA = \sqrt{43} प्राप्त होता है। चूंकि AB=CDAB = CD और BC=DABC = DA, इसलिए सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं। अतः, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

Step 3: विकर्णों की लंबाई ज्ञात करें

एक समांतर चतुर्भुज को आयत सिद्ध करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि उसके विकर्णों की लंबाई बराबर है। हम विकर्णों AC और BD की लंबाई ज्ञात करेंगे।

Step 4: विकर्णों की लंबाई की गणना

गणना करने पर, हमें AC=3AC = \sqrt{3} और BD=155BD = \sqrt{155} प्राप्त होता है। चूंकि AC≠BDAC \neq BD, विकर्णों की लंबाई बराबर नहीं है।

Step 5: निष्कर्ष

हमने दिखाया है कि सम्मुख भुजाएँ AB=CDAB = CD और BC=DABC = DA बराबर हैं, इसलिए ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। हालांकि, विकर्ण AC≠BDAC \neq BD बराबर नहीं हैं, इसलिए ABCD एक आयत नहीं है।

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