चूँकि 2 को (2)/(1) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p = 2 और q = 1 दोनों पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है। अतः 2 एक परिमेय संख्या है, अपरिमेय नहीं।

चूँकि 2 को (2)/(1) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p = 2 और q = 1 दोनों पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है। अतः 2 एक परिमेय संख्या है, अपरिमेय नहीं।

Show that the squre roots of all positive integer arw not irrational

उत्तर: सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, $\sqrt{4} = 2 = \frac{2}{1}$ , जो कि एक परिमेय संख्या है।

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: कथन को समझना

प्रश्न में यह दर्शाने के लिए कहा गया है कि क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं। किसी भी सार्वत्रिक कथन (universal statement) को असत्य सिद्ध करने के लिए केवल एक प्रति-उदाहरण (counter-example) देना ही पर्याप्त होता है।

चरण 2: पूर्ण वर्ग का उदाहरण चुनना

एक धनात्मक पूर्णांक $4$ पर विचार करते हैं। संख्या $4$ का वर्गमूल निकालने पर हमें $2$ प्राप्त होता है।

चरण 3: परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त करना

चूँकि $2$ को $\frac{2}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p = 2$ और $q = 1$ दोनों पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है। अतः $2$ एक परिमेय संख्या है, अपरिमेय नहीं।

चरण 4: निष्कर्ष

इसी प्रकार $\sqrt{1} = 1$ , $\sqrt{9} = 3$ , $\sqrt{16} = 4$ इत्यादि भी परिमेय संख्याएँ हैं। अतः यह सिद्ध होता है कि सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं; पूर्ण वर्ग संख्याओं के वर्गमूल परिमेय संख्याएँ होते हैं।

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