Solve the differential equation: (x2−y2x^2 - y^2)dx + 2xy dy = 0 given that y(1) = 1.

Answer: दिए गए अवकल समीकरण का विशिष्ट समाधान x2+y2=2xx^2 + y^2 = 2x है।

Step-by-step solution

Step 1: अवकल समीकरण को मानक रूप में लिखें

दिए गए अवकल समीकरण को dydx\frac{dy}{dx} के रूप में पुनर्व्यवस्थित करें ताकि यह एक सजातीय अवकल समीकरण के रूप में पहचान की जा सके।

Step 2: सजातीय समीकरण की पहचान करें

यह समीकरण एक सजातीय अवकल समीकरण है क्योंकि अंश और हर में प्रत्येक पद की घात समान है (इस स्थिति में, 2)।

Step 3: y=vxy = vx प्रतिस्थापित करें

एक सजातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम y=vxy = vx प्रतिस्थापित करते हैं। फिर हम yy के सापेक्ष xx के अवकलज, dydx\frac{dy}{dx} को v+xdvdxv + x\frac{dv}{dx} से भी प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 4: प्रतिस्थापन करें और सरलीकृत करें

अब हम yy और dydx\frac{dy}{dx} के लिए प्रतिस्थापन को मूल समीकरण में लगाते हैं और समीकरण को सरल बनाने के लिए x2x^2 को रद्द करते हैं।

Step 5: चरों को अलग करें

vv वाले सभी पदों को एक तरफ और xx वाले सभी पदों को दूसरी तरफ ले जाकर चरों को अलग करें। यह हमें समाकलन के लिए समीकरण को तैयार करने की अनुमति देता है।

Step 6: दोनों पक्षों को समाकलित करें

समीकरण के दोनों पक्षों को समाकलित करें। यहाँ, हम ∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+C\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C सूत्र का उपयोग करते हैं। समाकलन स्थिरांक C1C_1 को ln⁡C\ln C के रूप में लिखने से समीकरण को सरल बनाने में मदद मिलती है।

Step 7: vv को yy के पदों में प्रतिस्थापित करें

अब vv को वापस yx\frac{y}{x} से प्रतिस्थापित करें ताकि समाधान xx और yy के पदों में हो। फिर समीकरण को सरल बनाएं।

Step 8: प्रारंभिक शर्त लागू करें

समाकलन स्थिरांक CC का मान ज्ञात करने के लिए दी गई प्रारंभिक शर्त y(1)=1y(1) = 1 का उपयोग करें। x=1x=1 और y=1y=1 को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करें।

Step 9: विशिष्ट समाधान लिखें

स्थिरांक CC का मान C=2C=2 को सामान्य समाधान x2+y2=Cxx^2 + y^2 = Cx में प्रतिस्थापित करें। यह अवकल समीकरण का विशिष्ट समाधान है।

Solve your own maths question free →