हमें दिए गए समीकरण z² = z को हल करना है। हम z = x+iy और z = x-iy को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। z² का विस्तार करने पर, हमें (x+iy)² = x² + 2ixy + (iy)² = x² + 2ixy - y² मिलता है।

हमें दिए गए समीकरण z² = z को हल करना है। हम z = x+iy और z = x-iy को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। z² का विस्तार करने पर, हमें (x+iy)² = x² + 2ixy + (iy)² = x² + 2ixy - y² मिलता है।

यदि y=0 है, तो वास्तविक भाग का समीकरण x² - 0² = x बन जाता है, जो x² - x = 0 या x(x-1) = 0 के बराबर है। इससे x=0 या x=1 प्राप्त होता है। इस प्रकार, हमें दो हल मिलते हैं: z = 0+i(0) = 0 और z = 1+i(0) = 1।

यदि y=0 है, तो वास्तविक भाग का समीकरण x² - 0² = x बन जाता है, जो x² - x = 0 या x(x-1) = 0 के बराबर है। इससे x=0 या x=1 प्राप्त होता है। इस प्रकार, हमें दो हल मिलते हैं: z = 0+i(0) = 0 और z = 1+i(0) = 1।

यदि x=-1/2 है, तो वास्तविक भाग का समीकरण (-1/2)² - y² = -1/2 बन जाता है। इसे हल करने पर 1/4 - y² = -1/2, जिससे y² = 3/4 प्राप्त होता है। इसलिए, y = ± √3/2। इस प्रकार, हमें दो और हल मिलते हैं: z = -1/2 + i√3/2 और z = -1/2 - i√3/2।

यदि x=-1/2 है, तो वास्तविक भाग का समीकरण (-1/2)² - y² = -1/2 बन जाता है। इसे हल करने पर 1/4 - y² = -1/2, जिससे y² = 3/4 प्राप्त होता है। इसलिए, y = ± √3/2। इस प्रकार, हमें दो और हल मिलते हैं: z = -1/2 + i√3/2 और z = -1/2 - i√3/2।

समीकरण z² = z के कुल चार हल हैं: 0, 1, -1/2 + i√3/2, और -1/2 - i√3/2।

Solve the equation $z^{2}=\bar{z}$ , where $z=x+i y$

Answer: समीकरण $z^{2}=\bar{z}$ के हल हैं: $z = 0, 1, -1/2 + i\sqrt{3}/2, -1/2 - i\sqrt{3}/2$

Step-by-step solution

Step 1: समीकरण को वास्तविक और काल्पनिक भागों में व्यक्त करना

हमें दिए गए समीकरण $z^2 = \bar{z}$ को हल करना है। हम $z = x+iy$ और $\bar{z} = x-iy$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। $z^2$ का विस्तार करने पर, हमें $(x+iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 = x^2 + 2ixy - y^2$ मिलता है।

Step 2: वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करना

अब हम समीकरण के दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करते हैं। वास्तविक भाग $x^2 - y^2 = x$ और काल्पनिक भाग $2xy = -y$ हैं।

Step 3: काल्पनिक भाग के समीकरण को हल करना

काल्पनिक भाग के समीकरण $2xy = -y$ को हल करने पर, हमें $y(2x+1) = 0$ मिलता है। इसका अर्थ है कि या तो $y=0$ या $2x+1=0$ (जिसका अर्थ $x = -1/2$ है)।

Step 4: स्थिति 1: $y=0$ के लिए हल

यदि $y=0$ है, तो वास्तविक भाग का समीकरण $x^2 - 0^2 = x$ बन जाता है, जो $x^2 - x = 0$ या $x(x-1) = 0$ के बराबर है। इससे $x=0$ या $x=1$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, हमें दो हल मिलते हैं: $z = 0+i(0) = 0$ और $z = 1+i(0) = 1$ ।

Step 5: स्थिति 2: $x=-1/2$ के लिए हल

यदि $x=-1/2$ है, तो वास्तविक भाग का समीकरण $(-1/2)^2 - y^2 = -1/2$ बन जाता है। इसे हल करने पर $1/4 - y^2 = -1/2$ , जिससे $y^2 = 3/4$ प्राप्त होता है। इसलिए, $y = \pm \sqrt{3}/2$ । इस प्रकार, हमें दो और हल मिलते हैं: $z = -1/2 + i\sqrt{3}/2$ और $z = -1/2 - i\sqrt{3}/2$ ।

Step 6: सभी हल

समीकरण $z^2 = \bar{z}$ के कुल चार हल हैं: $0$ , $1$ , $-1/2 + i\sqrt{3}/2$ , और $-1/2 - i\sqrt{3}/2$ ।

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Solve the equation z2=zˉz^{2}=\bar{z}z2=zˉ, where z=x+iyz=x+i yz=x+iy