Solve the equation z2=zˉ, where z=x+iy
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Step-by-Step Solution
Step 1: समीकरण को वास्तविक और काल्पनिक भागों में व्यक्त करना
हमें दिए गए समीकरण z2=zˉ को हल करना है। हम z=x+iy और zˉ=x−iy को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। z2 का विस्तार करने पर, हमें (x+iy)2=x2+2ixy+(iy)2=x2+2ixy−y2 मिलता है।
Step 2: वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करना
अब हम समीकरण के दोनों पक्षों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करते हैं। वास्तविक भाग x2−y2=x और काल्पनिक भाग 2xy=−y हैं।
Step 3: काल्पनिक भाग के समीकरण को हल करना
काल्पनिक भाग के समीकरण 2xy=−y को हल करने पर, हमें y(2x+1)=0 मिलता है। इसका अर्थ है कि या तो y=0 या 2x+1=0 (जिसका अर्थ x=−1/2 है)।
Step 4: स्थिति 1: y=0 के लिए हल
यदि y=0 है, तो वास्तविक भाग का समीकरण x2−02=x बन जाता है, जो x2−x=0 या x(x−1)=0 के बराबर है। इससे x=0 या x=1 प्राप्त होता है। इस प्रकार, हमें दो हल मिलते हैं: z=0+i(0)=0 और z=1+i(0)=1 ।
Step 5: स्थिति 2: x=−1/2 के लिए हल
यदि x=−1/2 है, तो वास्तविक भाग का समीकरण (−1/2)2−y2=−1/2 बन जाता है। इसे हल करने पर 1/4−y2=−1/2, जिससे y2=3/4 प्राप्त होता है। इसलिए, y=±3/2 । इस प्रकार, हमें दो और हल मिलते हैं: z=−1/2+i3/2 और z=−1/2−i3/2 ।
Step 6: सभी हल
समीकरण z2=zˉ के कुल चार हल हैं: 0, 1, −1/2+i3/2, और −1/2−i3/2 ।