सिस्टम को हल करने के लिए, हमें गुणांक मैट्रिक्स A = 3 & -1 1 & 1 के आइगेनवैल्यूज़ ज्ञात करने होंगे। हम अभिलाक्षणिक समीकरण det(A - I) = 0 को हल करके ऐसा करते हैं।

सिस्टम को हल करने के लिए, हमें गुणांक मैट्रिक्स A = 3 & -1 1 & 1 के आइगेनवैल्यूज़ ज्ञात करने होंगे। हम अभिलाक्षणिक समीकरण det(A - I) = 0 को हल करके ऐसा करते हैं।

दोहरे आइगेनवैल्यू और एक आइगेनवेक्टर के लिए, सामान्य हल c_1 e^( t) v + c_2 e^( t) (tv + w) के रूप में दिया जाता है, जहाँ v आइगेनवेक्टर है और w सामान्यीकृत आइगेनवेक्टर है।

दोहरे आइगेनवैल्यू और एक आइगेनवेक्टर के लिए, सामान्य हल c_1 e^( t) v + c_2 e^( t) (tv + w) के रूप में दिया जाता है, जहाँ v आइगेनवेक्टर है और w सामान्यीकृत आइगेनवेक्टर है।

Solve the system: dx/dt = $3x - y, dy/dt = x + y$ with initial conditions x(0)=2, y(0)=1.

Answer: $x(t) = (2+t)e^{2t}, \quad y(t) = (1+t)e^{2t}$

Step-by-step solution

Step 1: मैट्रिक्स रूप में लिखें

दिए गए अवकल समीकरणों के निकाय को मैट्रिक्स रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह हमें सिस्टम को हल करने के लिए रैखिक बीजगणित के तरीकों का उपयोग करने की अनुमति देता है।

Step 2: आइगेनवैल्यूज़ ज्ञात करें

सिस्टम को हल करने के लिए, हमें गुणांक मैट्रिक्स $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ के आइगेनवैल्यूज़ ज्ञात करने होंगे। हम अभिलाक्षणिक समीकरण $\det(A - \lambda I) = 0$ को हल करके ऐसा करते हैं।

Step 3: आइगेनवेक्टर ज्ञात करें

आइगेनवैल्यू $\lambda = 2$ के लिए, हम $(A - \lambda I)v = 0$ को हल करके आइगेनवेक्टर $v$ ज्ञात करते हैं। इससे हमें एक ही रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेनवेक्टर मिलता है।

Step 4: सामान्यीकृत आइगेनवेक्टर ज्ञात करें

चूंकि हमारे पास केवल एक रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेनवेक्टर है, हमें एक सामान्यीकृत आइगेनवेक्टर $w$ ज्ञात करना होगा जो $(A - \lambda I)w = v$ को संतुष्ट करता है।

Step 5: सामान्य हल लिखें

दोहरे आइगेनवैल्यू और एक आइगेनवेक्टर के लिए, सामान्य हल $c_1 e^{\lambda t} v + c_2 e^{\lambda t} (tv + w)$ के रूप में दिया जाता है, जहाँ $v$ आइगेनवेक्टर है और $w$ सामान्यीकृत आइगेनवेक्टर है।

Step 6: प्रारंभिक शर्तों को लागू करें

अब हम प्रारंभिक शर्तों $x(0)=2$ और $y(0)=1$ का उपयोग करके स्थिरांक $c_1$ और $c_2$ ज्ञात करते हैं। $t=0$ पर सामान्य हल में मान रखने पर, हमें $c_1=1$ और $c_2=1$ मिलता है।

Step 7: विशिष्ट हल

स्थिरांक $c_1$ और $c_2$ के मानों को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करने पर, हमें दिए गए प्रारंभिक शर्तों के साथ सिस्टम का विशिष्ट हल मिलता है।

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Solve the system: dx/dt = 3x−y,dy/dt=x+y3x - y, dy/dt = x + y3x−y,dy/dt=x+y with initial conditions x(0)=2, y(0)=1.