Solve the system of equations using matrix method: x - y + 2z = 7, 3x + 4y - 5z = -5, 2x - y + 3z = 12.
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Step-by-Step Solution
Step 1: आव्यूह समीकरण बनाना
दिए गए समीकरणों के निकाय को आव्यूह रूप में लिखते हैं, जहाँ A गुणांकों का आव्यूह है, X चरों का आव्यूह है और B स्थिरांकों का आव्यूह है।
Step 2: आव्यूह A, X और B को परिभाषित करना
गुणांकों, चरों और स्थिरांकों को संबंधित आव्यूह A, X और B में व्यवस्थित करते हैं।
Step 3: निर्धारक (∣A∣) की गणना करना
आव्यूह A का निर्धारक ज्ञात करते हैं। चूंकि ∣A∣=0, इसलिए निकाय का एक अद्वितीय हल मौजूद है।
Step 4: सह-गुणांक (कोफैक्टर) आव्यूह की गणना करना
आव्यूह A के प्रत्येक तत्व के सह-गुणांक की गणना करते हैं। सह-गुणांक Cij=(−1)i+jMij द्वारा दिया जाता है, जहाँ Mij उपसारणिक है।
Step 5: सह-गुणांक आव्यूह लिखना
सह-गुणांक आव्यूह का ट्रांसपोज़ (परिवर्तित) ज्ञात करते हैं, जो संलग्न आव्यूह (एडजॉइंट) होता है।
Step 6: A−1 की गणना करना
आव्यूह A के व्युत्क्रम की गणना करते हैं, जो A−1=∣A∣1adj(A) द्वारा दिया जाता है।
Step 7: X का मान ज्ञात करना
समीकरण X=A−1B का उपयोग करके X का मान ज्ञात करते हैं। इसमें A−1 और B का गुणा शामिल है।
Step 8: हल लिखना
आव्यूह X के तत्वों से चरों x, y, z के मान प्राप्त होते हैं।