Solve the system of equations: x + y + z=6,x2+y2+z2=14,x3+y3+z3=36.
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Step-by-Step Solution
Step 1: प्राथमिक सममित बहुपद ज्ञात करें
दिए गए समीकरणों को हल करने के लिए, हम प्राथमिक सममित बहुपदों e1,e2,e3 का उपयोग करेंगे। ये बहुपद x, y, z के योग, उनके युग्मों के गुणनफल के योग और उनके गुणनफल को दर्शाते हैं।
Step 2: e1 और e2 का मान ज्ञात करें
हमें x+y+z=6 दिया गया है, इसलिए e1=6 । हम जानते हैं कि x2+y2+z2=(x+y+z)2−2(xy+yz+zx) । दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करके, हम e2 का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 3: e3 का मान ज्ञात करें
हम जानते हैं कि x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−(xy+yz+zx)) । e1,e2 और दिए गए x3+y3+z3 के मानों को प्रतिस्थापित करके, हम e3 का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 4: एक घन समीकरण बनाएं
अब हमारे पास e1=6, e2=11, और e3=6 के मान हैं। x, y, z एक घन समीकरण t3−e1t2+e2t−e3=0 के मूल हैं। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें घन समीकरण प्राप्त होता है।
Step 5: घन समीकरण को हल करें
हम घन समीकरण के मूलों को ज्ञात करने के लिए गुणनखंड विधि का उपयोग करेंगे। t=1 प्रतिस्थापित करने पर समीकरण संतुष्ट होता है, इसलिए (t−1) एक गुणनखंड है। फिर हम शेष द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करते हैं।
Step 6: समाधान लिखें
चूंकि x, y, z समीकरण t3−6t2+11t−6=0 के मूल हैं, इसलिए x, y, z के मान 1,2,3 के कोई भी क्रमचय हो सकते हैं।