हमें x+y+z=6 दिया गया है, इसलिए e_1=6। हम जानते हैं कि x²+y²+z² = (x+y+z)² - 2(xy+yz+zx)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करके, हम e_2 का मान ज्ञात कर सकते हैं।

हमें x+y+z=6 दिया गया है, इसलिए e_1=6। हम जानते हैं कि x²+y²+z² = (x+y+z)² - 2(xy+yz+zx)। दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करके, हम e_2 का मान ज्ञात कर सकते हैं।

हम जानते हैं कि x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z² - (xy+yz+zx))। e_1, e_2 और दिए गए x³+y³+z³ के मानों को प्रतिस्थापित करके, हम e_3 का मान ज्ञात कर सकते हैं।

हम जानते हैं कि x³+y³+z³ - 3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z² - (xy+yz+zx))। e_1, e_2 और दिए गए x³+y³+z³ के मानों को प्रतिस्थापित करके, हम e_3 का मान ज्ञात कर सकते हैं।

अब हमारे पास e_1=6, e_2=11, और e_3=6 के मान हैं। x, y, z एक घन समीकरण t³ - e_1 t² + e_2 t - e_3 = 0 के मूल हैं। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें घन समीकरण प्राप्त होता है।

अब हमारे पास e_1=6, e_2=11, और e_3=6 के मान हैं। x, y, z एक घन समीकरण t³ - e_1 t² + e_2 t - e_3 = 0 के मूल हैं। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें घन समीकरण प्राप्त होता है।

चूंकि x, y, z समीकरण t³ - 6t² + 11t - 6 = 0 के मूल हैं, इसलिए x, y, z के मान 1, 2, 3 के कोई भी क्रमचय हो सकते हैं।

चूंकि x, y, z समीकरण t³ - 6t² + 11t - 6 = 0 के मूल हैं, इसलिए x, y, z के मान 1, 2, 3 के कोई भी क्रमचय हो सकते हैं।

Solve the system of equations: x + y + $z = 6, x² + y² + z² = 14, x³ + y³ + z³ = 36$ .

Answer: $(x, y, z)$ के हल $(1, 2, 3)$ , $(1, 3, 2)$ , $(2, 1, 3)$ , $(2, 3, 1)$ , $(3, 1, 2)$ , और $(3, 2, 1)$ हैं।

Step-by-step solution

Step 1: प्राथमिक सममित बहुपद ज्ञात करें

दिए गए समीकरणों को हल करने के लिए, हम प्राथमिक सममित बहुपदों $e_1, e_2, e_3$ का उपयोग करेंगे। ये बहुपद $x, y, z$ के योग, उनके युग्मों के गुणनफल के योग और उनके गुणनफल को दर्शाते हैं।

Step 2: $e_1$ और $e_2$ का मान ज्ञात करें

हमें $x+y+z=6$ दिया गया है, इसलिए $e_1=6$ । हम जानते हैं कि $x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$ । दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करके, हम $e_2$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 3: $e_3$ का मान ज्ञात करें

हम जानते हैं कि $x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx))$ । $e_1, e_2$ और दिए गए $x^3+y^3+z^3$ के मानों को प्रतिस्थापित करके, हम $e_3$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 4: एक घन समीकरण बनाएं

अब हमारे पास $e_1=6$ , $e_2=11$ , और $e_3=6$ के मान हैं। $x, y, z$ एक घन समीकरण $t^3 - e_1 t^2 + e_2 t - e_3 = 0$ के मूल हैं। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें घन समीकरण प्राप्त होता है।

Step 5: घन समीकरण को हल करें

हम घन समीकरण के मूलों को ज्ञात करने के लिए गुणनखंड विधि का उपयोग करेंगे। $t=1$ प्रतिस्थापित करने पर समीकरण संतुष्ट होता है, इसलिए $(t-1)$ एक गुणनखंड है। फिर हम शेष द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करते हैं।

Step 6: समाधान लिखें

चूंकि $x, y, z$ समीकरण $t^3 - 6t^2 + 11t - 6 = 0$ के मूल हैं, इसलिए $x, y, z$ के मान $1, 2, 3$ के कोई भी क्रमचय हो सकते हैं।

Solve your own maths question free →

Solve the system of equations: x + y + z=6,x2+y2+z2=14,x3+y3+z3=36z = 6, x² + y² + z² = 14, x³ + y³ + z³ = 36z=6,x2+y2+z2=14,x3+y3+z3=36.