Solve the wave equation ∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x² with initial conditions u(x,0) = f(x), ∂u/∂t(x,0) = g(x).
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Step-by-Step Solution
Step 1: ड'अलेम्बर्ट का हल
तरंग समीकरण ∂t2∂2u=c2∂x2∂2u एक आंशिक अवकल समीकरण है। इसका सामान्य हल ड'अलेम्बर्ट के सूत्र द्वारा दिया जाता है, जो प्रारंभिक शर्तों u(x,0)=f(x) और ∂t∂u(x,0)=g(x) को सीधे शामिल करता है।
Step 2: प्रारंभिक स्थिति u(x,0)=f(x) का उपयोग
ड'अलेम्बर्ट के सूत्र में t=0 रखने पर, हमें u(x,0)=21[f(x)+f(x)]+2c1∫xxg(ξ)dξ मिलता है। चूंकि एक ही बिंदु पर समाकलन शून्य होता है, यह u(x,0)=f(x) को सरल करता है, जो दी गई प्रारंभिक शर्त से मेल खाता है।
Step 3: प्रारंभिक स्थिति ∂t∂u(x,0)=g(x) का उपयोग
ड'अलेम्बर्ट के सूत्र को t के सापेक्ष अवकलित करने के लिए, हमें श्रृंखला नियम और लाइबनिज़ के समाकलन नियम का उपयोग करना होगा। इससे ∂t∂u(x,t) के लिए एक व्यंजक प्राप्त होता है।
Step 4: सरलीकरण और सत्यापन
अब, ∂t∂u(x,t) के व्यंजक में t=0 रखें। f'(x) वाले पद रद्द हो जाते हैं, और g(x) वाले पद मिलकर g(x) देते हैं, जो दूसरी प्रारंभिक शर्त को सत्यापित करता है।