Solve the wave equation ∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x² with initial conditions u(x,0) = f(x), ∂u/∂t(x,0) = g(x).

Answer: तरंग समीकरण का हल ड'अलेम्बर्ट के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $u(x,t) = \frac{1}{2}[f(x-ct) + f(x+ct)] + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(\xi) d\xi$

Step-by-step solution

Step 1: ड'अलेम्बर्ट का हल

तरंग समीकरण $\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$ एक आंशिक अवकल समीकरण है। इसका सामान्य हल ड'अलेम्बर्ट के सूत्र द्वारा दिया जाता है, जो प्रारंभिक शर्तों $u(x,0) = f(x)$ और $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = g(x)$ को सीधे शामिल करता है।

Step 2: प्रारंभिक स्थिति $u(x,0) = f(x)$ का उपयोग

ड'अलेम्बर्ट के सूत्र में $t=0$ रखने पर, हमें $u(x,0) = \frac{1}{2}[f(x) + f(x)] + \frac{1}{2c}\int_{x}^{x} g(\xi) d\xi$ मिलता है। चूंकि एक ही बिंदु पर समाकलन शून्य होता है, यह $u(x,0) = f(x)$ को सरल करता है, जो दी गई प्रारंभिक शर्त से मेल खाता है।

Step 3: प्रारंभिक स्थिति $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = g(x)$ का उपयोग

ड'अलेम्बर्ट के सूत्र को $t$ के सापेक्ष अवकलित करने के लिए, हमें श्रृंखला नियम और लाइबनिज़ के समाकलन नियम का उपयोग करना होगा। इससे $\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)$ के लिए एक व्यंजक प्राप्त होता है।

Step 4: सरलीकरण और सत्यापन

अब, $\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)$ के व्यंजक में $t=0$ रखें। $f'(x)$ वाले पद रद्द हो जाते हैं, और $g(x)$ वाले पद मिलकर $g(x)$ देते हैं, जो दूसरी प्रारंभिक शर्त को सत्यापित करता है।

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