प्रत्येक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए। 7,21,37,…n\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3\sqrt{7}, \dots n पदों तक

उत्तर: गुणोत्तर श्रेणी के nn पदों का योगफल Sn=7(3n/2−1)(3+1)2S_n = \frac{\sqrt{7}(3^{n/2} - 1)(\sqrt{3} + 1)}{2} है।

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम पद और सार्व अनुपात ज्ञात करना

दी गई गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a=7a = \sqrt{7} है। सार्व अनुपात rr ज्ञात करने के लिए, हम दूसरे पद को पहले पद से विभाजित करते हैं। यहाँ, r=217=3r = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}} = \sqrt{3} ।

चरण 2: गुणोत्तर श्रेणी के nn पदों के योगफल का सूत्र लागू करना

चूंकि सार्व अनुपात r=3r = \sqrt{3} है, जो 1 से बड़ा है, हम गुणोत्तर श्रेणी के nn पदों के योगफल के लिए सूत्र Sn=a(rn−1)r−1S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} का उपयोग करते हैं।

चरण 3: मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना

अब हम प्रथम पद a=7a = \sqrt{7} और सार्व अनुपात r=3r = \sqrt{3} के मानों को योगफल के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

चरण 4: हर का परिमेयकरण करना

हर में अपरिमेय संख्या को हटाने के लिए, हम हर का परिमेयकरण करते हैं। हम अंश और हर दोनों को (3+1)(\sqrt{3} + 1) से गुणा करते हैं। इससे हर (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 सूत्र का उपयोग करके 3−1=23 - 1 = 2 हो जाता है।

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