समुच्चय (ii) के लिए, x² = 4 को हल करने पर x = 2 या x = -2 मिलता है। चूंकि x एक प्राकृतिक संख्या है, इसलिए x = 2 ही मान्य है। अतः समुच्चय (ii) = 2 है, जो एक परिमित समुच्चय है। समुच्चय (iii) के लिए, 2x - 1 = 0 को हल करने पर x = (1)/(2) मिलता है। चूंकि x एक प्राकृतिक संख्या है, और (1)/(2) प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए इस समुच्चय में कोई अवयव नहीं है। अतः समुच्चय (iii) = है, जो एक परिमित समुच्चय है।

समुच्चय (ii) के लिए, x² = 4 को हल करने पर x = 2 या x = -2 मिलता है। चूंकि x एक प्राकृतिक संख्या है, इसलिए x = 2 ही मान्य है। अतः समुच्चय (ii) = 2 है, जो एक परिमित समुच्चय है। समुच्चय (iii) के लिए, 2x - 1 = 0 को हल करने पर x = (1)/(2) मिलता है। चूंकि x एक प्राकृतिक संख्या है, और (1)/(2) प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए इस समुच्चय में कोई अवयव नहीं है। अतः समुच्चय (iii) = है, जो एक परिमित समुच्चय है।

State which of the following sets are finite or infinite :\ (i) \{x: x $\in N$ $and$ $(x - 1)(x - 2) = 0$ $\}\ (ii) \{x: x \in N$ and $x^2= 4$ \}\ (iii) \{x: x $\in N$ $and$ $2x -1 = 0$ $\}\ (iv) \{x: x \in N$ and $x$ is prime\}\ (v) \{x: x $\in N$ $and$ x is odd\}

Answer: (i) परिमित, (ii) परिमित, (iii) परिमित, (iv) अपरिमित, (v) अपरिमित

Step-by-step solution

Step 1: समुच्चय (i) का विश्लेषण

पहले समुच्चय के लिए, हमें समीकरण $(x - 1)(x - 2) = 0$ को हल करना होगा, जहाँ $x$ एक प्राकृतिक संख्या ( $N$ ) है। इस समीकरण के हल $x-1=0$ या $x-2=0$ से प्राप्त होते हैं।

Step 2: समुच्चय (i) के अवयव ज्ञात करना

समीकरण को हल करने पर, हमें $x = 1$ और $x = 2$ प्राप्त होता है। ये दोनों मान प्राकृतिक संख्याएँ हैं। इसलिए, समुच्चय (i) = \{1, 2\} है। इस समुच्चय में अवयवों की संख्या सीमित है, अतः यह एक परिमित समुच्चय है।

Step 3: समुच्चय (ii) और (iii) का विश्लेषण

समुच्चय (ii) के लिए, $x^2 = 4$ को हल करने पर $x = 2$ या $x = -2$ मिलता है। चूंकि $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, इसलिए $x = 2$ ही मान्य है। अतः समुच्चय (ii) = \{2\} है, जो एक परिमित समुच्चय है। समुच्चय (iii) के लिए, $2x - 1 = 0$ को हल करने पर $x = \frac{1}{2}$ मिलता है। चूंकि $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, और $\frac{1}{2}$ प्राकृतिक संख्या नहीं है, इसलिए इस समुच्चय में कोई अवयव नहीं है। अतः समुच्चय (iii) = $\emptyset$ है, जो एक परिमित समुच्चय है।

Step 4: समुच्चय (iv) और (v) का विश्लेषण

समुच्चय (iv) में सभी प्राकृतिक अभाज्य संख्याएँ शामिल हैं। अभाज्य संख्याएँ अनंत होती हैं (जैसे 2, 3, 5, 7, 11, ...)। इसलिए, यह एक अपरिमित समुच्चय है। समुच्चय (v) में सभी प्राकृतिक विषम संख्याएँ शामिल हैं। विषम संख्याएँ भी अनंत होती हैं (जैसे 1, 3, 5, 7, 9, ...)। इसलिए, यह भी एक अपरिमित समुच्चय है।

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