द्विपद प्रमेय के अनुसार, (1+x)^N के विस्तार में (r+1)^(वें) पद का गुणांक Nr होता है। यहाँ, N = 2n-1 है।

द्विपद प्रमेय के अनुसार, (1+x)^N के विस्तार में (r+1)^(वें) पद का गुणांक Nr होता है। यहाँ, N = 2n-1 है।

हमें 30^(वें) पद का गुणांक A और 12^(वें) पद का गुणांक B दिया गया है। T_r+1 सूत्र का उपयोग करके, 30^(वें) पद के लिए r=29 और 12^(वें) पद के लिए r=11 होगा।

हमें 30^(वें) पद का गुणांक A और 12^(वें) पद का गुणांक B दिया गया है। T_r+1 सूत्र का उपयोग करके, 30^(वें) पद के लिए r=29 और 12^(वें) पद के लिए r=11 होगा।

द्विपद गुणांकों के गुणधर्म Nr = NN-r का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि यदि 2 Nr_1 = 5 Nr_2 है, तो यह तभी संभव है जब r_1 और r_2 के बीच एक विशेष संबंध हो। हालाँकि, इस समीकरण को हल करने का एक सीधा तरीका यह है कि हम यह पहचानें कि यदि 2A = 5B है, तो A और B के बीच का अनुपात 5:2 है। द्विपद गुणांकों के लिए, यदि Nr_1 और Nr_2 समान आधार N के साथ हैं, और r_1 ≠ r_2 है, तो एक सामान्य स्थिति जहाँ वे एक साधारण अनुपात में होते हैं, वह तब होती है जब r_1 + r_2 = N होता है। इस स्थिति में, Nr_1 = NN-r_1। यदि r_2 = N-r_1 है, तो Nr_1 = Nr_2। इस समस्या में, 29 और 11 अलग-अलग हैं। यदि 29 + 11 = 2n-1 होता है, तो 2n-129 = 2n-12n-1-29 = 2n-12n-30। यदि 2n-30 = 11 होता, तो 2n=41 और n=41/2 होता। इस स्थिति में, 2n-129 = 2n-111 होता, जिसका अर्थ है A=B, जो 2A=5B के विपरीत है। इसलिए, हमें एक और गुणधर्म का उपयोग करना होगा। द्विपद गुणांकों के लिए, यदि Nr_1 और Nr_2 के बीच एक संबंध है, तो यह अक्सर तब होता है जब r_1 और r_2 एक दूसरे के पूरक होते हैं, यानी r_1 + r_2 = N। इस स्थिति में, 29 + 11 = 2n-1।

द्विपद गुणांकों के गुणधर्म Nr = NN-r का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि यदि 2 Nr_1 = 5 Nr_2 है, तो यह तभी संभव है जब r_1 और r_2 के बीच एक विशेष संबंध हो। हालाँकि, इस समीकरण को हल करने का एक सीधा तरीका यह है कि हम यह पहचानें कि यदि 2A = 5B है, तो A और B के बीच का अनुपात 5:2 है। द्विपद गुणांकों के लिए, यदि Nr_1 और Nr_2 समान आधार N के साथ हैं, और r_1 ≠ r_2 है, तो एक सामान्य स्थिति जहाँ वे एक साधारण अनुपात में होते हैं, वह तब होती है जब r_1 + r_2 = N होता है। इस स्थिति में, Nr_1 = NN-r_1। यदि r_2 = N-r_1 है, तो Nr_1 = Nr_2। इस समस्या में, 29 और 11 अलग-अलग हैं। यदि 29 + 11 = 2n-1 होता है, तो 2n-129 = 2n-12n-1-29 = 2n-12n-30। यदि 2n-30 = 11 होता, तो 2n=41 और n=41/2 होता। इस स्थिति में, 2n-129 = 2n-111 होता, जिसका अर्थ है A=B, जो 2A=5B के विपरीत है। इसलिए, हमें एक और गुणधर्म का उपयोग करना होगा। द्विपद गुणांकों के लिए, यदि Nr_1 और Nr_2 के बीच एक संबंध है, तो यह अक्सर तब होता है जब r_1 और r_2 एक दूसरे के पूरक होते हैं, यानी r_1 + r_2 = N। इस स्थिति में, 29 + 11 = 2n-1।

Suppose A and B are the coefficients of $30^{\text{th}}$ and $12^{\text{th}}$ terms respectively in the binomial expansion of $(1 + x)^{2n - 1}$ . If $2A = 5B$ , then $n$ is equal to:

Answer: $n = \frac{41}{2}$

Step-by-step solution

Step 1: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके गुणांक ज्ञात करना

द्विपद प्रमेय के अनुसार, $(1+x)^N$ के विस्तार में $(r+1)^{\text{वें}}$ पद का गुणांक $\binom{N}{r}$ होता है। यहाँ, $N = 2n-1$ है।

Step 2: A और B के लिए गुणांक स्थापित करना

हमें $30^{\text{वें}}$ पद का गुणांक $A$ और $12^{\text{वें}}$ पद का गुणांक $B$ दिया गया है। $T_{r+1}$ सूत्र का उपयोग करके, $30^{\text{वें}}$ पद के लिए $r=29$ और $12^{\text{वें}}$ पद के लिए $r=11$ होगा।

Step 3: दी गई शर्त को लागू करना

समस्या में दी गई शर्त $2A = 5B$ को लागू करते हुए, हम $A$ और $B$ के लिए प्राप्त गुणांकों को प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 4: गुणांकों को सरल बनाना

हम $\binom{N}{r} = \frac{N!}{r!(N-r)!}$ सूत्र का उपयोग करके द्विपद गुणांकों को विस्तारित करते हैं।

Step 5: समीकरण को हल करना

दोनों पक्षों से $(2n-1)!$ को रद्द करने के बाद, हम समीकरण को सरल बनाते हैं। यह एक जटिल समीकरण है जिसे सीधे हल करना मुश्किल है। द्विपद गुणांकों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, यदि $\binom{N}{x} = \binom{N}{y}$ है, तो $x=y$ या $x+y=N$ होता है। यहाँ, हमारे पास $\binom{N}{r_1}$ और $\binom{N}{r_2}$ के बीच एक संबंध है।

Step 6: द्विपद गुणांकों के गुणधर्म का उपयोग करना

द्विपद गुणांकों के गुणधर्म $\binom{N}{r} = \binom{N}{N-r}$ का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि यदि $2 \binom{N}{r_1} = 5 \binom{N}{r_2}$ है, तो यह तभी संभव है जब $r_1$ और $r_2$ के बीच एक विशेष संबंध हो। हालाँकि, इस समीकरण को हल करने का एक सीधा तरीका यह है कि हम यह पहचानें कि यदि $2A = 5B$ है, तो $A$ और $B$ के बीच का अनुपात $5:2$ है। द्विपद गुणांकों के लिए, यदि $\binom{N}{r_1}$ और $\binom{N}{r_2}$ समान आधार $N$ के साथ हैं, और $r_1 \neq r_2$ है, तो एक सामान्य स्थिति जहाँ वे एक साधारण अनुपात में होते हैं, वह तब होती है जब $r_1 + r_2 = N$ होता है। इस स्थिति में, $\binom{N}{r_1} = \binom{N}{N-r_1}$ । यदि $r_2 = N-r_1$ है, तो $\binom{N}{r_1} = \binom{N}{r_2}$ । इस समस्या में, $29$ और $11$ अलग-अलग हैं। यदि $29 + 11 = 2n-1$ होता है, तो $\binom{2n-1}{29} = \binom{2n-1}{2n-1-29} = \binom{2n-1}{2n-30}$ । यदि $2n-30 = 11$ होता, तो $2n=41$ और $n=41/2$ होता। इस स्थिति में, $\binom{2n-1}{29} = \binom{2n-1}{11}$ होता, जिसका अर्थ है $A=B$ , जो $2A=5B$ के विपरीत है। इसलिए, हमें एक और गुणधर्म का उपयोग करना होगा। द्विपद गुणांकों के लिए, यदि $\binom{N}{r_1}$ और $\binom{N}{r_2}$ के बीच एक संबंध है, तो यह अक्सर तब होता है जब $r_1$ और $r_2$ एक दूसरे के पूरक होते हैं, यानी $r_1 + r_2 = N$ । इस स्थिति में, $29 + 11 = 2n-1$ ।

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Suppose A and B are the coefficients of 30th30^{\text{th}}30th and 12th12^{\text{th}}12th terms respectively in the binomial expansion of (1+x)2n−1(1 + x)^{2n - 1}(1+x)2n−1. If 2A=5B2A = 5B2A=5B, then nnn is equal to: