Suppose A and B are the coefficients of 30th and 12th terms respectively in the binomial expansion of (1+x)2n−1. If 2A=5B, then n is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके गुणांक ज्ञात करना
द्विपद प्रमेय के अनुसार, (1+x)N के विस्तार में (r+1)वें पद का गुणांक (rN) होता है। यहाँ, N=2n−1 है।
Step 2: A और B के लिए गुणांक स्थापित करना
हमें 30वें पद का गुणांक A और 12वें पद का गुणांक B दिया गया है। Tr+1 सूत्र का उपयोग करके, 30वें पद के लिए r=29 और 12वें पद के लिए r=11 होगा।
Step 3: दी गई शर्त को लागू करना
समस्या में दी गई शर्त 2A=5B को लागू करते हुए, हम A और B के लिए प्राप्त गुणांकों को प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 4: गुणांकों को सरल बनाना
हम (rN)=rN!!(N−r)! सूत्र का उपयोग करके द्विपद गुणांकों को विस्तारित करते हैं।
Step 5: समीकरण को हल करना
दोनों पक्षों से (2n−1)! को रद्द करने के बाद, हम समीकरण को सरल बनाते हैं। यह एक जटिल समीकरण है जिसे सीधे हल करना मुश्किल है। द्विपद गुणांकों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए, यदि (xN)=(yN) है, तो x=y या x+y=N होता है। यहाँ, हमारे पास (r1N) और (r2N) के बीच एक संबंध है।
Step 6: द्विपद गुणांकों के गुणधर्म का उपयोग करना
द्विपद गुणांकों के गुणधर्म (rN)=(N−rN) का उपयोग करते हुए, हम जानते हैं कि यदि 2(r1N)=5(r2N) है, तो यह तभी संभव है जब r1 और r2 के बीच एक विशेष संबंध हो। हालाँकि, इस समीकरण को हल करने का एक सीधा तरीका यह है कि हम यह पहचानें कि यदि 2A=5B है, तो A और B के बीच का अनुपात 5:2 है। द्विपद गुणांकों के लिए, यदि (r1N) और (r2N) समान आधार N के साथ हैं, और r1=r2 है, तो एक सामान्य स्थिति जहाँ वे एक साधारण अनुपात में होते हैं, वह तब होती है जब r1+r2=N होता है। इस स्थिति में, (r1N)=(N−r1N) । यदि r2=N−r1 है, तो (r1N)=(r2N) । इस समस्या में, 29 और 11 अलग-अलग हैं। यदि 29+11=2n−1 होता है, तो (292n−1)=(2n−1−292n−1)=(2n−302n−1) । यदि 2n−30=11 होता, तो 2n=41 और n=41/2 होता। इस स्थिति में, (292n−1)=(112n−1) होता, जिसका अर्थ है A=B, जो 2A=5B के विपरीत है। इसलिए, हमें एक और गुणधर्म का उपयोग करना होगा। द्विपद गुणांकों के लिए, यदि (r1N) और (r2N) के बीच एक संबंध है, तो यह अक्सर तब होता है जब r1 और r2 एक दूसरे के पूरक होते हैं, यानी r1+r2=N । इस स्थिति में, 29+11=2n−1 ।