त्रिविमीय अंतरिक्ष में मूलबिंदु O(0, 0, 0) के सापेक्ष किसी बिंदु P(x, y, z) की स्थिति को r = x i + y j + z k द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ i, j, और k क्रमशः x, y, और z अक्षों की दिशा में इकाई सदिश हैं। उदाहरण के लिए बिंदु P(3, 4, 0) का स्थिति सदिश r = 3 i + 4 j होगा।

त्रिविमीय अंतरिक्ष में मूलबिंदु O(0, 0, 0) के सापेक्ष किसी बिंदु P(x, y, z) की स्थिति को r = x i + y j + z k द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ i, j, और k क्रमशः x, y, और z अक्षों की दिशा में इकाई सदिश हैं। उदाहरण के लिए बिंदु P(3, 4, 0) का स्थिति सदिश r = 3 i + 4 j होगा।

किसी सदिश का परिमाण उसकी लंबाई को व्यक्त करता है। यदि a = 3 i + 4 j है, तो इसका परिमाण | a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 इकाई होगा। यह पाइथागोरस प्रमेय का ही त्रिविमीय रूप है।

किसी सदिश का परिमाण उसकी लंबाई को व्यक्त करता है। यदि a = 3 i + 4 j है, तो इसका परिमाण | a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 इकाई होगा। यह पाइथागोरस प्रमेय का ही त्रिविमीय रूप है।

यदि a = 3 i + 4 j और b = 2 i - 1 j हों, तो उनका योग संगत घटकों को जोड़कर निकाला जाता है। अतः a + b = (3 + 2) i + (4 - 1) j = 5 i + 3 j। ज्यामितीय रूप से यह त्रिभुज नियम (Triangle Law) का पालन करता है।

यदि a = 3 i + 4 j और b = 2 i - 1 j हों, तो उनका योग संगत घटकों को जोड़कर निकाला जाता है। अतः a + b = (3 + 2) i + (4 - 1) j = 5 i + 3 j। ज्यामितीय रूप से यह त्रिभुज नियम (Triangle Law) का पालन करता है।

Teach Class 12 Vectors from zero using funny gossip, whiteboard diagrams, and step-by-step examples. Explain slowly, one concept at a time.

उत्तर: Class 12 सदिश बीजगणित की मूल अवधारणाएं: सदिश $\vec{a} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ , परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ , मात्रक सदिश $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ , तथा घटकवार योग $\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1)\hat{i} + (a_2+b_2)\hat{j} + (a_3+b_3)\hat{k}$ ।

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: अदिश और सदिश में अंतर (The Gossip)

मान लीजिए मोहल्ले में शर्मा जी कहते हैं कि उनका बेटा $5$ किलोमीटर भागा, यह सिर्फ एक अदिश राशि (scalar) है क्योंकि इसमें दिशा नहीं पता। लेकिन अगर वो कहें कि बेटा $5$ किलोमीटर पूर्व की ओर भागा, तो यह सदिश (vector) बन जाता है। सदिश राशि में परिमाण (magnitude) के साथ-साथ दिशा (direction) भी होती है।

चरण 2: स्थिति सदिश और घटक (Position Vector and Components)

त्रिविमीय अंतरिक्ष में मूलबिंदु $O(0, 0, 0)$ के सापेक्ष किसी बिंदु $P(x, y, z)$ की स्थिति को $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ $\hat{i}$ , $\hat{j}$ , और $\hat{k}$ क्रमशः $x$ , $y$ , और $z$ अक्षों की दिशा में इकाई सदिश हैं। उदाहरण के लिए बिंदु $P(3, 4, 0)$ का स्थिति सदिश $\vec{r} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ होगा।

चरण 3: सदिश का परिमाण (Magnitude of a Vector)

किसी सदिश का परिमाण उसकी लंबाई को व्यक्त करता है। यदि $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ है, तो इसका परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ इकाई होगा। यह पाइथागोरस प्रमेय का ही त्रिविमीय रूप है।

चरण 4: मात्रक सदिश (Unit Vector)

एक ऐसा सदिश जिसका परिमाण ठीक $1$ इकाई हो, मात्रक सदिश (unit vector) कहलाता है। इसे ज्ञात करने के लिए मूल सदिश को उसके अपने ही परिमाण से भाग दे दिया जाता है। यहाँ $\hat{a} = \frac{3}{5}\hat{i} + \frac{4}{5}\hat{j}$ का परिमाण निकालने पर $\sqrt{(3/5)^2 + (4/5)^2} = 1$ प्राप्त होता है।

चरण 5: सदिशों का योग (Vector Addition)

यदि $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - 1\hat{j}$ हों, तो उनका योग संगत घटकों को जोड़कर निकाला जाता है। अतः $\vec{a} + \vec{b} = (3 + 2)\hat{i} + (4 - 1)\hat{j} = 5\hat{i} + 3\hat{j}$ । ज्यामितीय रूप से यह त्रिभुज नियम (Triangle Law) का पालन करता है।

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