The angle between two lines is π4\frac{\pi}{4} and slope of one of the lines is 12\frac{1}{2} find the slope of the other line.

Answer: दूसरी रेखा की ढलान m2=−13m_2 = -\frac{1}{3} या m2=3m_2 = 3 है।

Step-by-step solution

Step 1: कोण और ढलान के बीच संबंध

दो रेखाओं के बीच का कोण θ\theta और उनकी ढलानें m1m_1 और m2m_2 के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है। यहाँ, हमें कोण θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} और एक रेखा की ढलान m1=12m_1 = \frac{1}{2} दी गई है। हमें दूसरी रेखा की ढलान m2m_2 ज्ञात करनी है।

Step 2: दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें

दिए गए कोण θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} और ढलान m1=12m_1 = \frac{1}{2} को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर हमें यह समीकरण मिलता है। हम जानते हैं कि tan⁡(π4)=1\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 होता है।

Step 3: समीकरण को सरल करें

अब हम समीकरण को सरल करते हैं। अंश और हर दोनों में से 2 को रद्द करने के बाद, हमें ∣1−2m22+m2∣=1\left|\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2}\right| = 1 मिलता है। इसका मतलब है कि 1−2m22+m2=1\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = 1 या 1−2m22+m2=−1\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = -1 ।

Step 4: केस 1: धनात्मक मान

पहले मामले में, जब 1−2m22+m2=1\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = 1 होता है, तो हम m2m_2 के लिए हल करते हैं। क्रॉस-गुणा करने और पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें m2=−13m_2 = -\frac{1}{3} मिलता है।

Step 5: केस 2: ऋणात्मक मान

दूसरे मामले में, जब 1−2m22+m2=−1\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = -1 होता है, तो हम m2m_2 के लिए हल करते हैं। क्रॉस-गुणा करने और पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें m2=3m_2 = 3 मिलता है।

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