The area (in sq. units) of the region {(x,y):0≤y≤2∣x∣+1,0≤y≤x2+1,∣x∣≤3} is
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Step-by-Step Solution
Step 1: क्षेत्र को परिभाषित करें
दिए गए क्षेत्र को y=2∣x∣+1 और y=x2+1 द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ y का मान इन दोनों फलनों में से छोटे के बराबर या उससे कम है। साथ ही, x का मान −3 से 3 के बीच है। चूंकि दोनों फलन y -अक्ष के परितः सममित हैं, हम 0 से 3 तक समाकलन करके परिणाम को दोगुना कर सकते हैं।
Step 2: फलनों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें
दाएँ आधे भाग (x≥0) के लिए, 2∣x∣+1 फलन 2x+1 बन जाता है। हम यह निर्धारित करने के लिए दोनों फलनों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं कि कौन सा फलन किस अंतराल में छोटा है। x=0 और x=2 पर फलन प्रतिच्छेद करते हैं।
Step 3: छोटे फलन की पहचान करें
अंतराल [0,2] में, x2+1 फलन 2x+1 से छोटा या बराबर है। उदाहरण के लिए, x=1 पर, x2+1=2 और 2x+1=3 । अंतराल [2,3] में, 2x+1 फलन x2+1 से छोटा या बराबर है। उदाहरण के लिए, x=3 पर, 2x+1=7 और x2+1=10 ।
Step 4: समाकलन को विभाजित करें
समरूपता के कारण, हम 0 से 3 तक समाकलन करते हैं और परिणाम को दोगुना करते हैं। 0 से 2 तक, x2+1 छोटा फलन है, और 2 से 3 तक, 2x+1 छोटा फलन है।
Step 5: निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करें
अब हम प्रत्येक निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते हैं। पहले भाग के लिए, हम x2+1 का समाकलन करते हैं और सीमाओं 0 से 2 तक लागू करते हैं। दूसरे भाग के लिए, हम 2x+1 का समाकलन करते हैं और सीमाओं 2 से 3 तक लागू करते हैं। फिर हम परिणामों को जोड़ते हैं और 2 से गुणा करते हैं।