The area (in sq. units) of the region {(x,y):0≤y≤2∣x∣+1,0≤y≤x2+1,∣x∣≤3}\{(x, y): 0 \leq y \leq 2|x| + 1, 0 \leq y \leq x^2 + 1, |x| \leq 3\} is

Answer: क्षेत्र का क्षेत्रफल 643\frac{64}{3} वर्ग इकाई है।

Step-by-step solution

Step 1: क्षेत्र को परिभाषित करें

दिए गए क्षेत्र को y=2∣x∣+1y = 2|x| + 1 और y=x2+1y = x^2 + 1 द्वारा परिभाषित किया गया है, जहाँ yy का मान इन दोनों फलनों में से छोटे के बराबर या उससे कम है। साथ ही, xx का मान −3-3 से 33 के बीच है। चूंकि दोनों फलन yy -अक्ष के परितः सममित हैं, हम 00 से 33 तक समाकलन करके परिणाम को दोगुना कर सकते हैं।

Step 2: फलनों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें

दाएँ आधे भाग (x≥0x \geq 0) के लिए, 2∣x∣+12|x|+1 फलन 2x+12x+1 बन जाता है। हम यह निर्धारित करने के लिए दोनों फलनों के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं कि कौन सा फलन किस अंतराल में छोटा है। x=0x=0 और x=2x=2 पर फलन प्रतिच्छेद करते हैं।

Step 3: छोटे फलन की पहचान करें

अंतराल [0,2][0, 2] में, x2+1x^2+1 फलन 2x+12x+1 से छोटा या बराबर है। उदाहरण के लिए, x=1x=1 पर, x2+1=2x^2+1 = 2 और 2x+1=32x+1 = 3 । अंतराल [2,3][2, 3] में, 2x+12x+1 फलन x2+1x^2+1 से छोटा या बराबर है। उदाहरण के लिए, x=3x=3 पर, 2x+1=72x+1 = 7 और x2+1=10x^2+1 = 10 ।

Step 4: समाकलन को विभाजित करें

समरूपता के कारण, हम 00 से 33 तक समाकलन करते हैं और परिणाम को दोगुना करते हैं। 00 से 22 तक, x2+1x^2+1 छोटा फलन है, और 22 से 33 तक, 2x+12x+1 छोटा फलन है।

Step 5: निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करें

अब हम प्रत्येक निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते हैं। पहले भाग के लिए, हम x2+1x^2+1 का समाकलन करते हैं और सीमाओं 00 से 22 तक लागू करते हैं। दूसरे भाग के लिए, हम 2x+12x+1 का समाकलन करते हैं और सीमाओं 22 से 33 तक लागू करते हैं। फिर हम परिणामों को जोड़ते हैं और 22 से गुणा करते हैं।

Solve your own maths question free →