The equation of the chord of the ellipse 25x2+16y2=1, whose mid-point is (3,1), is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: दीर्घवृत्त का समीकरण पहचानें
दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण 25x2+16y2=1 है। इसकी तुलना दीर्घवृत्त के मानक समीकरण a2x2+b2y2=1 से करने पर, हमें a2=25 और b2=16 प्राप्त होता है।
Step 2: मध्यबिंदु के लिए जीवा का समीकरण सूत्र
दीर्घवृत्त की जीवा का समीकरण, जिसका मध्यबिंदु (x1,y1) है, T=S1 द्वारा दिया जाता है। यहाँ, T स्पर्शरेखा का समीकरण है और S1 दीर्घवृत्त के समीकरण में मध्यबिंदु के निर्देशांक रखने पर प्राप्त मान है।
Step 3: T का मान ज्ञात करें
दीर्घवृत्त के लिए T का मान a2xx1+b2yy1−1 होता है। दिए गए मध्यबिंदु (x1,y1)=(3,1) और a2=25, b2=16 का उपयोग करके, हमें T=253x+16y−1 मिलता है।
Step 4: S1 का मान ज्ञात करें
दीर्घवृत्त के लिए S1 का मान a2x12+b2y12−1 होता है। मध्यबिंदु (3,1) का उपयोग करके, हमें S1=2532+1612−1=259+161−1 मिलता है।
Step 5: समीकरण T=S1 में मान प्रतिस्थापित करें
अब हम T और S1 के मानों को समीकरण T=S1 में प्रतिस्थापित करते हैं। दोनों पक्षों से −1 को रद्द करने पर, हमें 253x+16y=259+161 प्राप्त होता है।
Step 6: समीकरण को सरल करें
समीकरण 253x+16y=259+161 को सरल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 25×16=400 से गुणा करते हैं। इससे हमें 16(3x)+25y=16(9)+25(1) प्राप्त होता है, जो 48x+25y=144+25 के बराबर है।
Step 7: अंतिम समीकरण ज्ञात करें
पिछले चरण में प्राप्त समीकरण 48x+25y=144+25 को हल करने पर, हमें 48x+25y=169 मिलता है। यह दीर्घवृत्त की जीवा का अभीष्ट समीकरण है।