दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण (x²)/(25) + (y²)/(16) = 1 है। इसकी तुलना दीर्घवृत्त के मानक समीकरण (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 से करने पर, हमें a² = 25 और b² = 16 प्राप्त होता है।

दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण (x²)/(25) + (y²)/(16) = 1 है। इसकी तुलना दीर्घवृत्त के मानक समीकरण (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 से करने पर, हमें a² = 25 और b² = 16 प्राप्त होता है।

दीर्घवृत्त के लिए T का मान (x x_1)/(a²) + (y y_1)/(b²) - 1 होता है। दिए गए मध्यबिंदु (x_1, y_1) = (3, 1) और a² = 25, b² = 16 का उपयोग करके, हमें T = (3x)/(25) + (y)/(16) - 1 मिलता है।

दीर्घवृत्त के लिए T का मान (x x_1)/(a²) + (y y_1)/(b²) - 1 होता है। दिए गए मध्यबिंदु (x_1, y_1) = (3, 1) और a² = 25, b² = 16 का उपयोग करके, हमें T = (3x)/(25) + (y)/(16) - 1 मिलता है।

दीर्घवृत्त के लिए S_1 का मान (x_1²)/(a²) + (y_1²)/(b²) - 1 होता है। मध्यबिंदु (3, 1) का उपयोग करके, हमें S_1 = (3²)/(25) + (1²)/(16) - 1 = (9)/(25) + (1)/(16) - 1 मिलता है।

दीर्घवृत्त के लिए S_1 का मान (x_1²)/(a²) + (y_1²)/(b²) - 1 होता है। मध्यबिंदु (3, 1) का उपयोग करके, हमें S_1 = (3²)/(25) + (1²)/(16) - 1 = (9)/(25) + (1)/(16) - 1 मिलता है।

समीकरण (3x)/(25) + (y)/(16) = (9)/(25) + (1)/(16) को सरल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 25 × 16 = 400 से गुणा करते हैं। इससे हमें 16(3x) + 25y = 16(9) + 25(1) प्राप्त होता है, जो 48x + 25y = 144 + 25 के बराबर है।

समीकरण (3x)/(25) + (y)/(16) = (9)/(25) + (1)/(16) को सरल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 25 × 16 = 400 से गुणा करते हैं। इससे हमें 16(3x) + 25y = 16(9) + 25(1) प्राप्त होता है, जो 48x + 25y = 144 + 25 के बराबर है।

The equation of the chord of the ellipse $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ , whose mid-point is $(3, 1)$ , is:

Answer: दीर्घवृत्त की जीवा का समीकरण $48x + 25y = 169$ है।

Step-by-step solution

Step 1: दीर्घवृत्त का समीकरण पहचानें

दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ है। इसकी तुलना दीर्घवृत्त के मानक समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ से करने पर, हमें $a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ प्राप्त होता है।

Step 2: मध्यबिंदु के लिए जीवा का समीकरण सूत्र

दीर्घवृत्त की जीवा का समीकरण, जिसका मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ है, $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ, $T$ स्पर्शरेखा का समीकरण है और $S_1$ दीर्घवृत्त के समीकरण में मध्यबिंदु के निर्देशांक रखने पर प्राप्त मान है।

Step 3: $T$ का मान ज्ञात करें

दीर्घवृत्त के लिए $T$ का मान $\frac{x x_1}{a^2} + \frac{y y_1}{b^2} - 1$ होता है। दिए गए मध्यबिंदु $(x_1, y_1) = (3, 1)$ और $a^2 = 25$ , $b^2 = 16$ का उपयोग करके, हमें $T = \frac{3x}{25} + \frac{y}{16} - 1$ मिलता है।

Step 4: $S_1$ का मान ज्ञात करें

दीर्घवृत्त के लिए $S_1$ का मान $\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} - 1$ होता है। मध्यबिंदु $(3, 1)$ का उपयोग करके, हमें $S_1 = \frac{3^2}{25} + \frac{1^2}{16} - 1 = \frac{9}{25} + \frac{1}{16} - 1$ मिलता है।

Step 5: समीकरण $T = S_1$ में मान प्रतिस्थापित करें

अब हम $T$ और $S_1$ के मानों को समीकरण $T = S_1$ में प्रतिस्थापित करते हैं। दोनों पक्षों से $-1$ को रद्द करने पर, हमें $\frac{3x}{25} + \frac{y}{16} = \frac{9}{25} + \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।

Step 6: समीकरण को सरल करें

समीकरण $\frac{3x}{25} + \frac{y}{16} = \frac{9}{25} + \frac{1}{16}$ को सरल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को $25 \times 16 = 400$ से गुणा करते हैं। इससे हमें $16(3x) + 25y = 16(9) + 25(1)$ प्राप्त होता है, जो $48x + 25y = 144 + 25$ के बराबर है।

Step 7: अंतिम समीकरण ज्ञात करें

पिछले चरण में प्राप्त समीकरण $48x + 25y = 144 + 25$ को हल करने पर, हमें $48x + 25y = 169$ मिलता है। यह दीर्घवृत्त की जीवा का अभीष्ट समीकरण है।

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The equation of the chord of the ellipse x225+y216=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 125x2​+16y2​=1, whose mid-point is (3,1)(3, 1)(3,1), is: