The largest n∈Nn\in\mathbb{N} such that 3n3^n divides 50!50! is:

Answer: सबसे बड़ा n∈Nn\in\mathbb{N} जिसके लिए 3n3^n, 50!50! को विभाजित करता है, 2222 है।

Step-by-step solution

Step 1: लेगेंद्रे के सूत्र का उपयोग करें

किसी पूर्णांक N!N! में एक अभाज्य संख्या pp की अधिकतम घात nn ज्ञात करने के लिए, हम लेगेंद्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं। यह सूत्र बताता है कि nn उन सभी पदों का योग है जहाँ NN को pp की बढ़ती घातों से विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक विभाजन का केवल पूर्णांक भाग लिया जाता है।

Step 2: मानों को प्रतिस्थापित करें

हमारे प्रश्न में, हमें 50!50! में 3n3^n की अधिकतम घात nn ज्ञात करनी है। इसलिए, हम N=50N=50 और p=3p=3 को लेगेंद्रे के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। हम 33 की घातों को तब तक बढ़ाते रहते हैं जब तक कि भाजक 5050 से बड़ा न हो जाए, क्योंकि उसके बाद पूर्णांक भाग 00 हो जाएगा।

Step 3: प्रत्येक पद की गणना करें

अब हम प्रत्येक पद के पूर्णांक भाग की गणना करते हैं। 50/350/3 का पूर्णांक भाग 1616 है। 50/950/9 का पूर्णांक भाग 55 है। 50/2750/27 का पूर्णांक भाग 11 है। 50/8150/81 का पूर्णांक भाग 00 है, क्योंकि 8181 5050 से बड़ा है।

Step 4: सभी पदों का योग करें

अंत में, हम nn का मान ज्ञात करने के लिए सभी पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं। 16+5+1+016 + 5 + 1 + 0 का योग 2222 है।

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