The largest n∈N such that 3n divides 50! is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: लेगेंद्रे के सूत्र का उपयोग करें
किसी पूर्णांक N! में एक अभाज्य संख्या p की अधिकतम घात n ज्ञात करने के लिए, हम लेगेंद्रे के सूत्र का उपयोग करते हैं। यह सूत्र बताता है कि n उन सभी पदों का योग है जहाँ N को p की बढ़ती घातों से विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक विभाजन का केवल पूर्णांक भाग लिया जाता है।
Step 2: मानों को प्रतिस्थापित करें
हमारे प्रश्न में, हमें 50! में 3n की अधिकतम घात n ज्ञात करनी है। इसलिए, हम N=50 और p=3 को लेगेंद्रे के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। हम 3 की घातों को तब तक बढ़ाते रहते हैं जब तक कि भाजक 50 से बड़ा न हो जाए, क्योंकि उसके बाद पूर्णांक भाग 0 हो जाएगा।
Step 3: प्रत्येक पद की गणना करें
अब हम प्रत्येक पद के पूर्णांक भाग की गणना करते हैं। 50/3 का पूर्णांक भाग 16 है। 50/9 का पूर्णांक भाग 5 है। 50/27 का पूर्णांक भाग 1 है। 50/81 का पूर्णांक भाग 0 है, क्योंकि 81 50 से बड़ा है।
Step 4: सभी पदों का योग करें
अंत में, हम n का मान ज्ञात करने के लिए सभी पूर्णांक भागों को जोड़ते हैं। 16+5+1+0 का योग 22 है।