The line L1L_1 is parallel to the vector a⃗=−3i^+2j^+4k^\vec{a} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k} and passes through the point (7,6,2)(7, 6, 2) and the line L2L_2 is parallel to the vector b⃗=2i^+j^+3k^\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k} and passes through the point (5,3,4)(5, 3, 4). The shortest distance between the lines L1L_1 and L2L_2 is:

Answer: दो रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी 69342\frac{69}{\sqrt{342}} है।

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए सदिशों और बिंदुओं को पहचानें

सबसे पहले, हम दी गई रेखाओं के समानांतर सदिशों a⃗\vec{a} और b⃗\vec{b} को पहचानते हैं, और उन बिंदुओं के स्थिति सदिशों r⃗1\vec{r}_{1} और r⃗2\vec{r}_{2} को भी पहचानते हैं जिनसे रेखाएँ गुजरती हैं।

Step 2: सदिश r⃗2−r⃗1\vec{r}_{2} - \vec{r}_{1} की गणना करें

अगले चरण में, हम सदिश r⃗2−r⃗1\vec{r}_{2} - \vec{r}_{1} की गणना करते हैं, जो दोनों रेखाओं पर स्थित दो बिंदुओं को जोड़ता है। यह सदिश दो रेखाओं के बीच की दूरी की गणना के लिए महत्वपूर्ण है।

Step 3: सदिश a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} की गणना करें

अब, हम दोनों रेखाओं के समानांतर सदिशों a⃗\vec{a} और b⃗\vec{b} का क्रॉस उत्पाद a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} ज्ञात करते हैं। यह सदिश दोनों रेखाओं के लंबवत होता है।

Step 4: ∣a⃗×b⃗∣|\vec{a} \times \vec{b}| की गणना करें

हम क्रॉस उत्पाद a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b} का परिमाण ज्ञात करते हैं। यह मान दो रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी के सूत्र के हर में उपयोग किया जाएगा।

Step 5: सबसे छोटी दूरी की गणना करें

अंत में, हम दो विषम रेखाओं के बीच की सबसे छोटी दूरी के सूत्र का उपयोग करते हैं: d=∣(r⃗2−r⃗1)⋅(a⃗×b⃗)∣∣a⃗×b⃗∣d = \frac{|(\vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})|}{|\vec{a} \times \vec{b}|} । हम पहले से गणना किए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी दूरी प्राप्त करते हैं।

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