The minimum value of the expression 3x+31−x,x∈R, is
(A) 0
(B) 31
(C) 3
(D) 23
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Step-by-Step Solution
Step 1: व्यंजक को सरल करें
दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए, हम 31−x को 31/3x के रूप में लिख सकते हैं। यह घातांक के नियम am−n=am/an का उपयोग करके किया जाता है।
Step 2: अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय माध्य (AM-GM) असमानता लागू करें
हम जानते हैं कि दो धनात्मक संख्याओं के लिए अंकगणितीय माध्य (AM) हमेशा उनके ज्यामितीय माध्य (GM) से बड़ा या उसके बराबर होता है। यहाँ, a=3x और b=3/3x दोनों धनात्मक संख्याएँ हैं क्योंकि 3x हमेशा धनात्मक होता है।
Step 3: AM-GM असमानता का उपयोग करके न्यूनतम मान ज्ञात करें
AM-GM असमानता को a=3x और b=3/3x पर लागू करने पर, हमें मिलता है कि व्यंजक का मान 23 से बड़ा या उसके बराबर है। इसलिए, न्यूनतम मान 23 है।