The minimum value of the expression 3x+31−x,x∈R3^{x}+3^{1-x}, x \in \mathbf{R}, is (A) 0 (B) 13\frac{1}{3} (C) 3 (D) 232 \sqrt{3}

Answer: 232 \sqrt{3}

Step-by-step solution

Step 1: व्यंजक को सरल करें

दिए गए व्यंजक को सरल करने के लिए, हम 31−x3^{1-x} को 31/3x3^1 / 3^x के रूप में लिख सकते हैं। यह घातांक के नियम am−n=am/ana^{m-n} = a^m / a^n का उपयोग करके किया जाता है।

Step 2: अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय माध्य (AM-GM) असमानता लागू करें

हम जानते हैं कि दो धनात्मक संख्याओं के लिए अंकगणितीय माध्य (AM) हमेशा उनके ज्यामितीय माध्य (GM) से बड़ा या उसके बराबर होता है। यहाँ, a=3xa = 3^x और b=3/3xb = 3/3^x दोनों धनात्मक संख्याएँ हैं क्योंकि 3x3^x हमेशा धनात्मक होता है।

Step 3: AM-GM असमानता का उपयोग करके न्यूनतम मान ज्ञात करें

AM-GM असमानता को a=3xa = 3^x और b=3/3xb = 3/3^x पर लागू करने पर, हमें मिलता है कि व्यंजक का मान 232\sqrt{3} से बड़ा या उसके बराबर है। इसलिए, न्यूनतम मान 232\sqrt{3} है।

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