The number of 3-digit numbers, that are divisible by 2 and 3, but not divisible by 4 and 9, is
Answer: 3-अंकीय संख्याओं की संख्या, जो 2 और 3 से विभाज्य हैं, लेकिन 4 और 9 से विभाज्य नहीं हैं, 50 है।
Step-by-step solution
Step 1: 3-अंकीय संख्याओं की सीमा निर्धारित करें
सबसे छोटी 3-अंकीय संख्या 100 है और सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या 999 है। हमें इन सीमाओं के भीतर उन संख्याओं को खोजना है जो दी गई शर्तों को पूरा करती हैं।
Step 2: 2 और 3 से विभाज्य संख्याएँ ज्ञात करें
एक संख्या जो 2 और 3 दोनों से विभाज्य होती है, वह उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से भी विभाज्य होती है। 2 और 3 का LCM 6 है। इसलिए, हमें 100 और 999 के बीच 6 से विभाज्य संख्याओं की संख्या ज्ञात करनी होगी।
Step 3: 6 से विभाज्य संख्याओं की संख्या की गणना करें
1 से 999 तक 6 से विभाज्य संख्याओं की संख्या है। 1 से 99 तक 6 से विभाज्य संख्याओं की संख्या है। इसलिए, 100 से 999 तक 6 से विभाज्य संख्याओं की संख्या है।
Step 4: 4 और 9 से विभाज्य संख्याओं की शर्तों को लागू करें
हमें उन संख्याओं को हटाना होगा जो 4 से विभाज्य हैं (और 6 से भी विभाज्य हैं, यानी 12 से विभाज्य हैं) और उन संख्याओं को भी हटाना होगा जो 9 से विभाज्य हैं (और 6 से भी विभाज्य हैं, यानी 18 से विभाज्य हैं)।
Step 5: 12, 18 और 36 से विभाज्य संख्याओं की गणना करें
100 से 999 तक 12 से विभाज्य संख्याएँ हैं। 100 से 999 तक 18 से विभाज्य संख्याएँ हैं। 100 से 999 तक 36 से विभाज्य संख्याएँ हैं। (LCM(6,4) = 12, LCM(6,9) = 18, LCM(6,4,9) = LCM(12,18) = 36)
Step 6: समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करके अंतिम संख्या ज्ञात करें
हम समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हैं। 6 से विभाज्य संख्याओं में से, हम उन संख्याओं को घटाते हैं जो 12 से विभाज्य हैं (यानी 4 से भी विभाज्य हैं) और उन संख्याओं को भी घटाते हैं जो 18 से विभाज्य हैं (यानी 9 से भी विभाज्य हैं)। चूंकि हमने 36 से विभाज्य संख्याओं को दो बार घटाया है (एक बार 12 के लिए और एक बार 18 के लिए), हम उन्हें एक बार वापस जोड़ते हैं।